ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

⎡ ⎧= 1 ∫ π1⎨ e i(θ−ˆθ) r⎣1 + Lπ −π 2 ⎩1 − e r i(θ−ˆθ) L(= 1 ∫ r 2π 1 −L)2π −π= 1 ∫ π2π −π1 − 2 r L cos(θ − ˆθ)( r 2g(ˆθ) dˆθ+L)L 2 − r 2L 2 − 2rL cos(θ − ˆθ) + r 2 g(ˆθ) dˆθ,e −i(θ−ˆθ) r ⎫⎤⎬+ L1 − e r ⎦ g(ˆθ) dˆθ−i(θ−ˆθ) ⎭Lil cosiddetto integrale di Poisson. Osserviamo che il nucleo di Poisson12πL 2 − r 2L 2 − 2rL cos(θ − ˆθ) + r 2è simmetrico in r e L e simmetrico in θ e ˆθ. Inoltre, è strettamente positivo;le sue uniche singolarità si trovano sulla circonferenza r = L per θ = ˆθ.Invece, se risolviamo l’equazione di Laplace in D sotto la condizione diNeumann∂u= h sul bordo ∂D,∂n (VI.52)ci vuole la condizione necessaria ∫ πh(θ) dθ = 0 per l’esistenza della soluzione.−πSiccome la derivata normale esterna coincide con quella radiale, cerchiamo lasoluzione u(r, θ) nella forma (V.50) con a 0 = 0 (per garantirne l’unicità), dove∞∑h(θ) = nr n−1 (a n cos nθ + b n sin nθ).(VI.53)n=1Applicando la teoria delle serie di Fourier risultanona n L n−1 = 1 π∫ π−πh(θ) cos nθ dθ,nb n L n−1 = 1 π∫ π−πh(θ) sin nθ dθ,dove la serie (V.53) è uniformente convergente in θ ∈ [−π, π] se h(θ) è continua,regolare a tratti e periodica nel senso che h(−π) = h(π). Sostituiamo ora leespressioni per i coefficienti di Fourier nell’espressione per la u(r, θ). Risultau(r, θ) = L π= L π∫ π= − L 2π∞∑−π n=1∫ π−π n=1∫ π1( r) n []cos nθ cos nˆθ + sin nθ sin nˆθ h(ˆθ) dˆθn L∞∑ 1( r) ncos n(θ − ˆθ)h(ˆθ) dˆθn Llog(1 − 2 r L cos(θ − ˆθ) + r2−π137L 2 )h(ˆθ) dˆθ,