ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

L’equazione (V.48) è un’equazione di Eulero [r 2 u ′′ m(r)+ru ′ m(r)−m 2 u m (r) = 0]con la soluzione generaleu m (r) ={c 1 + c 2 ln(r), m = 0c 1 r m + c 2 r −m , m = 1, 2, . . . ,dove c 1 e c 2 sono costanti arbitrarie. La continuità se r → 0 + conduce ad unasoluzione costante se m = 0 e una proporzionale a r m se m = 1, 2, . . .. Quindila soluzione generale ha la formau(r, θ) = a 02 + ∞∑n=1r n (a n cos nθ + b n sin nθ) ,(VI.50)dove a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , . . . sono opportune costanti.Sostituiamo r = L in (V.50) e applichiamo la condizione al contorno u(L, θ)= g(θ). Risultag(θ) = a 02 + ∞∑n=1L n (a n cos nθ + b n sin nθ) .(VI.51)Applicando la teoria delle serie di Fourier abbiamo for n = 1, 2, . . .⎧⎪⎨ a 0 = 1 π∫ π⎪⎩ a n L n = 1 π−π∫ πg(θ) dθ−πg(θ) cos nθ dθ,b n L n = 1 π∫ π−πg(θ) sin nθ dθ,dove la serie (V.51) è uniformente convergente in θ ∈ [−π, π] se g(θ) è continua(con g(−π) = g(π)) e regolare a tratti.Sostituiamo ora le espressioni per i coefficienti di Fourier nell’espressioneper la u(r, θ). Risultau(r, θ) = 1 π= 1 π= 1 π∫ π−π∫ π−π∫ π−π(1[1122 + ∞∑n=1( rL) n [cos nθ cos nˆθ + sin nθ sin nˆθ] ) g(ˆθ) dˆθ∞]2 + ∑ ( r) ncos n(θ − ˆθ) g(ˆθ) dˆθLn=1[∞∑ {( r) n ( r) n } ]1 + ei(θ−ˆθ) + e−i(θ−ˆθ) g(ˆθ) dˆθL Ln=1136