ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

dove c ∈ L 2 (R). Sostituendo y = 0 si ottieneu 0 (x) =∫ ∞−∞e iλx c(λ) dλ,che vuol dire che u 0 ∈ L 2 (R) e ‖c‖ 2 = (2π) 1/2 ‖u 0 ‖ 2 . Invertendo la trasformatadi Fourier si hac(λ) = 1 ∫ ∞e −iλx u 0 (x) dx.2πInfine otteniamou(x, y) =∫ ∞−∞−∞dove la funzione di Green ha l’espressioneG(x, ˆx; y)u 0 (ˆx) dˆx,(VI.46)G(x, ˆx; y) = 12π∫ ∞−∞e iλ(x−ˆx) e −|λ|y dλ = 1 πyy 2 + (x − ˆx) 2 .(VI.47)Ovviamente sono operatori lineari limitati le trasformazioni u 0 ↦→ u(·, y)per ogni y ≥ 0 (da L 2 (R) in se stesso) e u 0 ↦→ u (da L 2 (R) in l 2 ({(x, y) ∈ R 2 :y > 0}). Inoltre la trasformazione u 0 ↦→ u(·, y) è limitato da BC(R) [oppureC 0 (R)] in se stesso, uniformemente in y ≥ y 0 per ogni y 0 > 0.3.1.dEquazione di Laplace nel discoConsideriamo l’equazione di Laplace (V.45) nel disco D = {(x, y) ∈ R 2 :√x2 + y 2 < L} sotto le condizioni al contornou = g sul bordo ∂D.(VI.48)Ponendo Ω = D, assumiamo che g sia continua sulla circonferenza ∂D, ecerchiamo una soluzione u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω). In coordinate polari l’equazionedi Laplace ha la forma1r∂∂r(r ∂u )+ 1 ∂ 2 u∂r r 2 ∂θ = 0, 2dove 0 ≤ θ < 2π (con periodicità) e 0 < r < L con continuità della soluzioneper r → 0 + . La separazione delle variabili conduce alle soluzioni u 0 (r),u m (r) cos mθ e u m (r) sin mθ, dove m = 0, 1, 2, . . . e la funzione u m (r) soddisfal’equazione differenziale ordinaria1rddr(r du mdr)− m2r 2 u m(r) = 0.135(VI.49)