ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Utilizzando il linguaggio dell’elettrodinamica consideriamo ora il potenzialedi un dipolo. Sia h > 0 piccola. Consideriamo le cariche −1/h e 1/h neipunti x 0 e x 0 + he, dove ‖e‖ 2 = 1. Il corrispondente potenziale u soddisfaall’equazione di Poisson− ∆u = 1 h {δ(x − (x 0 + he)) − δ(x − x 0 )} .(VI.42)Per h → 0 + la parte a destra tende alla derivata di δ(x − x 0 ) nella direzionee rispetto alla variabile x 0 . In altre parole, la parte a destra dell’equazione(V.42) tende ae · ∇ x014π‖x − x 0 ‖ 2= e · (x − x 0)4π‖x − x 0 ‖ 3 2=cos θ4π‖x − x 0 ‖ 2 2se h → 0 + , dove θ è l’angolo tra i vettori x − x 0 e e. Partendo da unadistribuzione di dipoli normali alla superficie ∂Ω (da una cosiddetta doublelayer) con densità b ∈ L 1 (∂Ω, dσ), otteniamou(x) = 14π∫∂Ωcos(angolo(x − ξ, n(ξ)))b(ξ) dσ(ξ).‖x − ξ‖ 2 2(VI.43)L’espressione (V.43) si dice double layer potential. 5Consideriamo ora una distribuzione di cariche su una superficie ∂Ω. Allorail corrispondente potenziale (con densità a ∈ L 1 (∂Ω; dσ(ξ)) ha la formau(x) = 14π∫∂Ωa(ξ)‖x − ξ‖ 2dσ(ξ).L’espressione (V.44) si dice single layer potential. 43.1.cEquazione di Laplace nel semipianoConsideriamo l’equazione di Laplace(VI.44)∆u = 0(VI.45)nel semipiano {(x, y) ∈ R 2 : y > 0} sotto la condizione u(x, 0) = u 0 (x). Siccomee iλx e −|λ|y è soluzione dell’equazione di Laplace limitata nel piano superiorequalunque sia λ ∈ R, rappresntiamo la soluzione della (V.45) nella formau(x, y) =∫ ∞−∞c(λ)e iλx e −|λ|y dλ,5 Questa espressione non rende conto di un’eventuale condizione al contorno. In tal casoci vuole una correzione da un termine regolare come in (V.39) e (V.41).134