ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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Risolvendo la (V.34) sotto la condizione che G(r) → 0 per r → +∞ (solofattibile se n ≥ 3) e applicando il Teorema della Divergenza alla (V.33), sitrova 4 ⎧−(2π)⎪⎨−1 log(r), n = 2,Γ(n/2) 1G(r) = , n ≥ 3,(VI.35)2(n − 2)π⎪⎩n/2 rn−2 1/(4πr), n = 3.Quindi la soluzione dell’equazione ∆ y G(x, y) = δ(x − y) nell’intero spazio èG(‖x − y‖). In altre parole, la soluzione unica dell’equazione di Poisson∆u = −ρ(x), x ∈ R n ,ha la seguente forma (per n ≥ 3)∫u(x) = dy G(x, y)ρ(y) =R nPer n = 3 otteniamo l’espressioneu(x) = 14π∫Γ(n/2)2(n − 2)π n/2∫R 3 dyR n dyρ(y)‖x − y‖nota dall’elettrodinamica.Consideriamo ora l’equazione di Poisson n-dimensionaleρ(y)‖x − y‖ n−2 .(VI.36)−∆v = f(x), x ∈ Ω,dove Ω è un sottoinsieme aperto, limitato e connesso di R n e la sua frontiera∂Ω è un’ipersuperficie regolare a tratti. In generale la funzione∫v(x) = G(x, y)f(y) dy, x ∈ Ω,non soddisfa alle condizioni al contorno. Siano∫v(x b ) = G(x b , y)f(y) dy,Ω∫∂v∂n (x ∂Gb) = (x b , y)f(y) dy,∂n xdove x b ∈ ∂Ω. Sia∫w(x) =∂ΩΩΩG Dir (x, y)g(y) dσ y , x ∈ Ω,(VI.37a)(VI.37b)4 Per n = 2 la funzione di Green non tende a zero all’infinito, creando parecchi problemitecnici nel trattamento dell’equazione di Poisson nell’intero piano.132
la soluzione unica dell’equazione di Laplace ∆w = 0 in Ω con condizione alcontorno w| ∂Ω= g. Allora il problema al contorno−∆u = f(x), x ∈ Ω, (VI.38a)u(x b ) = g(x b ), x b ∈ ∂Ω, (VI.38b)ha la soluzione unica che ha la forma∫∫( ∫)u(x) = G(x, y)f(y) dy + G Dir (x, y) g(y) − G(y, z)f(z) dz dσ yΩ∂ΩΩ∫ [ ∫]= G(x, y) − G Dir (x, z)G(z, y) dσ z f(y) dyΩ∂Ω∫+ G Dir (x, y)g(y) dσ y .(VI.39)∂ΩDunque se g(x) = 0 per x ∈ ∂Ω [il problema di Dirichlet omogeneo], la funzionedi Green G(x, y) è da correggere da un termine regolare.In modo analogo, sia∫w(x) = G Neu (x, y)h(y) dσ y , x ∈ Ω,∂Ωla soluzione dell’equazione di Laplace ∆w = 0 in Ω con condizione al contorno(∂w/∂n)| ∂Ω= h, dove ∫ w(y) dy = 0. Una tale soluzione esiste (e è unica)Ωse e solo se ∫ h(y) dσ ∂Ω y = 0. Allora sotto la condizione ∫ h(y) dσ ∂Ω y = 0 ilproblema al contorno∫Ω−∆u = f(x), x ∈ Ω, (VI.40a)∂u∂n (x b) = h(x b ), x b ∈ ∂Ω, (VI.40b)u(y) dy = 0,(VI.40c)ha la soluzione unica che ha la forma∫∫( ∫)∂Gu(x) = G(x, y)f(y) dy + G Neu (x, y) h(y) − (y, z)f(z) dz dσ yΩ∂ΩΩ ∂n y∫ [ ∫= G(x, y) − G Neu (x, z) ∂G ](z, y) dσ z f(y) dyΩ∂Ω ∂n∫z+ G Neu (x, y)h(y) dσ y .(VI.41)∂ΩDunque se h(x) = 0 per x ∈ ∂Ω [il problema di Neumann omogeneo], lafunzione di Green G(x, y) è da correggere da un termine regolare.133
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ISTITUZIONI DI FISICAMATEMATICACors
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5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
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Capitolo IEQUAZIONI DELLA FISICAMAT
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ha la seguente rappresentazione:∆
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dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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nelle variabili (x, y, z) per k > 0
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3 Equazione di HelmholtzIn questa p
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L’altra condizione u(L) = 0 condu
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oppure[ cos α cos βsin(α + β) c
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dove a 2 è la diffusività termica
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I coefficienti di Fourier si calcol
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per l’equazione delle onde.Per l
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per n, m > n(ε), ossia se lim n,m
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d. (αϕ + βψ, χ) = α(ϕ, χ) +
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Appena trovata una base ortonormale
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ossia∫1 π|f(x)| 2 dx =2π −π
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Proposizione II.3 Siano X, Y spazi
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Sia X uno spazio di Banach compless
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Teorema II.7 Sia T ∈ L(X) un oper
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5.4 Operatori autoaggiunti non limi
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Capitolo IIIEQUAZIONI DIFFERENZIALI
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Essendo w(x) ≠ 0 (per ogni x ∈
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Spieghiamo ora il Metodo di Frobeni
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poichè in alcuni casi si trovano d
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per |z| abbastanza piccola, dove il
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Quindi la sostituzione y(x) = x −
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come dovevasi dimostrare. La funzio
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e dunque [vedi la (A.10) nell’App
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dove ν > −1. Allora∫ 1xJ ν (
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Siccome µ −ν [αJ ν (µ) + β
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3025201510587654321000 1 2 3 4 5 1
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È anche abbastanza facile trovare
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Consideriamo ora le funzioni sferic
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soddisfano la (II.74) per λ = l(l
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si ottiene∫ 1(−1) l+1(P l+1 , x
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5.3 Funzioni di Legendre associateS
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convergente in L 2 (S 2 ). I coeffi
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Confrontando i coefficienti di z n+
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Derivando la (II.95) n + 1 volte e
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40502000−20−40−50−60−80
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otteniamo le seguenti espressioni p
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Page 94 and 95: dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono d
Page 96 and 97: Da questa disuguaglianza segue che
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Page 104 and 105: Conformemente al Lemma III.5, la su
Page 106 and 107: ECC. Supponiamo di aver trovato i n
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Page 116 and 117: e quindiw(x) = v 1 (0, λ)v 2(0,
Page 118 and 119: segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
Page 120 and 121: Le condizioni al contorno (IV.2) si
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Page 164 and 165: da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
Page 166 and 167: Il teorema A.1 può essere applicat
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Page 172 and 173: dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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