ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Risolvendo la (V.34) sotto la condizione che G(r) → 0 per r → +∞ (solofattibile se n ≥ 3) e applicando il Teorema della Divergenza alla (V.33), sitrova 4 ⎧−(2π)⎪⎨−1 log(r), n = 2,Γ(n/2) 1G(r) = , n ≥ 3,(VI.35)2(n − 2)π⎪⎩n/2 rn−2 1/(4πr), n = 3.Quindi la soluzione dell’equazione ∆ y G(x, y) = δ(x − y) nell’intero spazio èG(‖x − y‖). In altre parole, la soluzione unica dell’equazione di Poisson∆u = −ρ(x), x ∈ R n ,ha la seguente forma (per n ≥ 3)∫u(x) = dy G(x, y)ρ(y) =R nPer n = 3 otteniamo l’espressioneu(x) = 14π∫Γ(n/2)2(n − 2)π n/2∫R 3 dyR n dyρ(y)‖x − y‖nota dall’elettrodinamica.Consideriamo ora l’equazione di Poisson n-dimensionaleρ(y)‖x − y‖ n−2 .(VI.36)−∆v = f(x), x ∈ Ω,dove Ω è un sottoinsieme aperto, limitato e connesso di R n e la sua frontiera∂Ω è un’ipersuperficie regolare a tratti. In generale la funzione∫v(x) = G(x, y)f(y) dy, x ∈ Ω,non soddisfa alle condizioni al contorno. Siano∫v(x b ) = G(x b , y)f(y) dy,Ω∫∂v∂n (x ∂Gb) = (x b , y)f(y) dy,∂n xdove x b ∈ ∂Ω. Sia∫w(x) =∂ΩΩΩG Dir (x, y)g(y) dσ y , x ∈ Ω,(VI.37a)(VI.37b)4 Per n = 2 la funzione di Green non tende a zero all’infinito, creando parecchi problemitecnici nel trattamento dell’equazione di Poisson nell’intero piano.132