ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Per trovare la soluzione unica supponiamo che ∫ L0c 2 = − 12L= − 12L∫ L0∫ L0y(L − y)f(y) dyQuindi u(x) ha la forma (V.30), dove3.1.bu(y) dy = 0. Alloray(L − y)f(y) dy − 1 ∫ L2L x(L − x) f(y) dy.G per. (x, y) = − 1 |x − y|(L − |x − y|).2LFunzione di Green in R nIntroducendo r = ‖(x 1 , . . . , x n )‖ 2 = √ x 2 1 + . . . + x 2 n e ω = (x 1 , . . . , x n )/r, ilLaplaciano ha la seguente forma:∆ψ = 1 ( )∂ n−1 ∂ψr − 1 r n−1 ∂r ∂r r (L Bψ)(ω), (VI.31)2dove L B è il cosiddetto operatore di Beltrami n-dimensionale. Applicando ilLaplaciano al polinomio omogeneo armonico r l y(ω) di grado l (essendo y(ω)una funzione sferica) otteniamo(L B y)(ω) = l(l + n − 2)y(ω), ω ∈ S n−1 . (VI.32)Quindi le funzioni sferiche sono le autofunzioni dell’operatore di Beltrami.Consideriamo ora l’equazione di Poisson∆G(x) = −δ(r)Ω n r , n−10(VI.33)dove x ∈ R n , r = |x| e Ω n = m(S n−1 ). 3 Allora G(x) dipende soltanto dar = |x| e( )d n−1 dGr = − δ(r) , r > 0. (VI.34)dr dr Ω n3 Sia V n la misura della palla di raggio 1 in R n . Allora V n r n = ∫ r0 dˆr ˆrn−1 Ω n = Ω n r n /n.Inoltre,V n =∫ 1−1∫ 1∫ √ 1−x ∫ √ 211−x 2 1 −x2 2dx 1 dx 2− √ 1−x 2 1− √ 1−x 2 1 −x2 2∫ √ 1−x 2 1 −...−x2 n−1dx 3 . . .− √ 1−x 2 1 −...−x2 n−1√( 1= dx 1 V n−1 ( 1 − x 2 1 )n−1 = V n−1 B−12 , n + 1 )2( 1= V n−2 B2 , n + 1 ) ( 1B2 2 , n )Γ( 1 n+12)Γ(2= V ) Γ( 1n−22 Γ( n 2 )γ( n 2 )2 + 1) Γ( n+12 ) = 2π n V n−2.Quindi Ω 2p = 2π p /(p − 1)! e Ω 2p+1 = π p 2 2p+1 (p!)/(2p)!131dx n