ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Green G N (x, y) tale cheL y [G N (x, y)] = −∆ y G N (x, y) = δ(x − y) − 1m(Ω) ,∂G N(x, y) = 0 per y ∈ ∂Ω,∂n∫ yG N (x, y) dx = 0,Ωdove m(Ω) è la misura di Ω. Allora∫∫u(x) = G N (x, y)f(y) dy −Ω∂Ω∂G N∂n y(x, y)g(y) dσ(y).(VI.28a)(VI.28b)(VI.28c)Infatti, per v(y) = G N (x, y) we have∫∫f(y)v(y) dy = − v∆ y u dyΩΩ∫∫= − (v∆ y u − u∆ y v) dy + u(−∆ y v) dyΩΩ∫ ((V.16)= − v ∂u − u ∂v ) ∫dσ y + u(y)δ(x − y) dy∂Ω ∂n y ∂n y Ω− 1 ∫∫u(y) dy = g(y) ∂G N(x, y) dσ y + u(x),m(Ω)∂n ypiochè ∫ u(y) dy = 0, implicando la (V.29).Ω3.1.aΩ∂ΩEquazione di Poisson negli intervalli(VI.29)Siano Ω = (0, L) e Lu = −u ′′ con le condizioni antiperiodiche u(0) = −u(L)e u ′ (0) = −u ′ (L). Allora λ = 0 non è autovalore, v 1 (x) = (L/2) − x soddisfaLv 1 = 0 con v 1 (0) = −v 1 (L), e v 2 (x) = 1 soddisfa Lv 2 = 0 con v 2(0) ′ = −v 2(L),′mentre il Wronskiano v 1 v 2 ′ −v 1v ′ 2 = 1. Ponendo u(x) = c 1 (x)v 1 (x)+c 2 (x)v 2 (x)arriviamo al sistema lineare( ) ( ) ( )v1 (x) v 2 (x) c′1 (x) 0v 1(x)′ v 2(x)′ c ′ =2(x) −f(x)con∫soluzione c ′ 1(x) = f(x) e c ′ 2(x) = (x − 1L)f(x). Quindi c 2 1(x) = c 1 +xf(y) dy e c 0 2(x) = c 2 + ∫ x(y − L )f(y) dy, e dunque0 2u(x) = c 1 ( 1 2 L − x) + c 2 + ( 1 ∫ x2 L − x) f(y) dy +u ′ (x) = −c 1 −∫ x0f(y) dy.1290∫ x0(y − 1 L)f(y) dy,2