ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Per dimostrare la parte (b), consideriamo f, g ∈ D(L) non banali taliche Lf = λf e Lg = µg; in tal caso λ, µ ∈ R. Si controlla facilmente che(λ − µ)(f, g) = (Lf, g) − (f, Lg) = 0 e quindi λ = µ oppure (f, g) = 0.Per dimostrare la parte (c), se f è un’autofunzione, il fatto che il corrispondenteautovalore è reale implica che anche f è una autofunzione. Siccomele parti reale ed immaginaria della f non si possono ambedue annullare quasiovunque, una di loro è un’autofunzione reale.Infine, 2 per dimostrare la parte (d), sia λ = q min autovalore con correspondenteautofunzione f. Allora dalla (V.21) segue che grad f ≡ 0 (cioè che f ècostante) e qf ≡ q min f.✷3 Equazioni ellitticheIn Cap. IV abbiamo espresso la soluzione unica del problema di Sturm-Liouville unidimensionaleLu ≡ −(pu ′ ) ′ + qu = f, 0 < x < l, (VI.22a)h 1 u(0) − h 2 u ′ (0) = 0, H 1 u(l) + H 2 u ′ (l) = 0, (VI.22b)dove λ = 0 non è autovalore, nella formau(x) = (Gf)(x) =∫ L0G(x, y)u(y) dy,(VI.23)dove la funzione di Green G(x, y) è reale, simmetrica e continua e quindil’operatore integrale G è autoaggiunto sullo spazio di Hilbert L 2 (0, L). Inquesto capitolo estendiamo tali espressioni al caso multidimensionale per dueoperatori differenziali: quello di Laplace (L = −∆) e quello di Helmholtz(L = −∆ + k 2 ). Nel caso unidimensionale indichiamo le funzioni di Greennel caso di condizioni al contorno non separate (per esempio, le condizioniperiodiche o antiperiodiche).Se λ = 0 è autovalore, la soluzione del problema (V.22) esiste se e solo sef è ortogonale a tutte le autofunzioni corrispondenti all’autovalore λ = 0. Sequesto autovalore è semplice e l’autofunzione è ϕ 0 , allora esiste, per ogni f ∈L 2 (0, L) che soddisfa (f, ϕ 0 ) = 0, un’unica soluzione u che soddisfa (u, ϕ 0 ) = 0.Tale soluzione verrà scritta nella forma (V.23).2 Ci semplifichiamo la vita supponendo che f ∈ M L .127