ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Per dimostrare la formula (V.13), scambiamo u e v nella (V.12):∫Ω∫u Lv dx =Ωpn∑i=1∫∂u ∂vdx − pu ∂v∂x i ∂x i ∂Ω ∂n∫ΩdS + qvu dx,(VI.14)e sottraiamo l’uguaglianza ottenuta della (V.14). Come risultato, si ottiene laseconda formula di Green (V.13).In particolare per p(x) ≡ 1 e q(x) ≡ 0, le formule (V.12) e (V.13) di Greensi trasformano nelle seguenti uguaglianze:∫Ω∫v ∆u dx = − pΩ∫Ωn∑i=1∫(v ∆u − u ∆v) dx =2.3 Proprietà dell’operatore L1. L’operatore L è hermitiano:∫∂v ∂udx + v ∂u∂x i ∂x i ∂Ω ∂n dS,∂Ω(v ∂u∂n − u ∂v )dS.∂n(VI.15)(VI.16)(Lf, g) = (f, Lg), f, g ∈ M L . (VI.17)Infatti, visto che f, g ∈ M L , si ha Lf ∈ L 2 (Ω) e Lg = Lg ∈ L 2 (Ω). In tal casola seconda formula di Green (V.13), per u = f e v = g, assume la forma∫∫ ((Lf, g) − (f, Lg) = (g Lf − f Lg) dx = p f ∂g∂n − g ∂f )dS. (VI.18)∂nΩPer dimostrare che si annulla l’ultima parte della (V.18), osserviamo che lefunzioni f e g soddisfano le condizioni al contorno (V.10):(αf + β ∂f )∣ (∣∣∣∂Ω= 0, αg + β ∂g )∣ ∣∣∣∂Ω= 0. (VI.19)∂n∂nPer l’ipotesi (V.11), α(x) + β(x) > 0 per x ∈ ∂Ω. Perciò per ogni x ∈ ∂Ω ilsistema omogeneo di equazioni algebriche lineari (V.19) ha una soluzione nonnulla (α(x), β(x)), si annulla il suo determinante, cioè⎡⎢detf⎣g⎤∂f∂n⎥∂g ⎦ =∂nDi conseguenza è hermitiano l’operatore L.∂Ω(f ∂g∂n − g ∂f )∣ ∣∣∣∂Ω= 0.∂n125