ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Tutte le funzioni f di classe C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) che soddisfano la condizione alcontorno (V.10) e la condizione Lf ∈ L 2 (Ω) costituiscono il dominio M Ldell’operatore L. Siccome lo spazio vettoriale D(Ω) di tutte le funzioni diclasse C ∞ (Ω) di supporto compatto (cioè, che si annullano fuori di un compattocontenuto in Ω) è denso in L 2 (Ω) ed è contenuto in M L , M L è denso in L 2 (Ω).In generale, il dominio M L di L non è abbastanza grande per trovare tuttele autofunzioni. Per questa ragione bisogna estendere l’operatore L ad undominio abbastanza grande per contenere le autofunzioni.2.2 Formule di GreenSe u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) e v ∈ C 1 (Ω), è valida la prima formula di Green:∫Ω∫v Lu dx =Ωpn∑i=1∫∂v ∂udx − pv ∂u∂x i ∂x i ∂Ω ∂n∫ΩdS + quv dx.(VI.12)Per dimostrare la formula (V.12) prendiamo una regione arbitraria Ω ′ confrontiera ∂Ω ′ una superficie regolare a tratti tale che Ω ′ ⊂ Ω. Visto che u ∈C 2 (Ω), si ha anche u ∈ C 2 (Ω ′ ) e, di conseguenza,∫∫v [−div (p grad u) + qu] dxv Lu dx =Ω ′ Ω∫′∫= − div (pv grad u) dx +Ω ′Ω ′pn∑i=1∫∂v ∂udx +∂x i ∂x i Ω ′Utilizzando il teorema della divergenza (di Gauss) si ottiene∫∫v Lu dx =Ω ′Ω ′pn∑i=1∫∂v ∂udx −∂x i ∂x i ∂Ω ′pv ∂u ∫∂n ′ dS′ +Ω ′quv dx,quv dx.dove ∂Ω ′ è la frontiera di Ω ′ . Facendo tendere Ω ′ a Ω nell’uguaglianza ottenutaed utilizzando il fatto che u, v ∈ C 1 (Ω), concludiamo che il limite del secondomembro esiste. Quindi esiste anche il limite del primo membro ed è validal’uguaglianza (V.12). In tal caso l’integrale del primo membro della (V.12)deve essere considerato improprio. I limiti non dipendono della maniera incui Ω ′ tende a Ω, poichè gli integrali nelle parte a destra della (V.12) sonoassolutamente convergenti.Se u, v ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), è valida la seconda formula di Green:∫∫ ((v Lu − u Lv) dx = p u ∂v∂n − v ∂u )dS. (VI.13)∂nΩ∂Ω124