ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Osserviamo che in principio la classificazione della (V.1) dipende dalla sceltadel punto x ∈ G. Per la maggior parte delle equazioni della fisica matematicail segno degli autovalori (spesso gli autovalori stessi) e dunque la classificazionenon dipende da x ∈ G (tranne in qualche punto eccezionale, spesso difrontiera). Un’eccezione notevole è l’equazione di Tricomiy ∂2 u∂x 2 + ∂2 u∂y 2 = 0,(VI.8)dove (x, y) ∈ G = R 2 . In tal caso A(x, y) = diag (y, 1), λ 1 (x, y) = y eλ 2 (x, y) = 1. Quindi la (V.8) è ellittica se y > 0, parabolica se y = 0 eiperbolica se y < 0.2 Problemi agli autovalori multidimensionali2.1 Impostazione del problema agli autovaloriConsideriamo il seguente problema al contorno omogeneo lineare per un’equazionedi tipo ellittico:− div (p grad u) + qu = λu, x ∈ Ω, (VI.9)(αu + β ∂u )∣ ∣∣∣∂Ω= 0.∂n(VI.10)Supponiamo che⎧⎪⎨ p ∈ C 1 (Ω), q ∈ C(Ω); p(x) > 0, q(x) ∈ R, x ∈ Ω,α ∈ C(∂Ω), β ∈ C(∂Ω),⎪⎩α(x) ≥ 0, β(x) ≥ 0, α(x) + β(x) > 0, x ∈ ∂Ω.(VI.11)Sia ∂Ω 0 = {x ∈ ∂Ω : min(α(x), β(x)) > 0}. In alcuni casi supponiamo inoltreche q(x) ≥ 0 per x ∈ Ω. Notiamo i seguenti casi particolari:⎧⎨α(x) ≡ 1, β(x) ≡ 0, quindi u = 0, x ∈ ∂Ω, [condizione di Dirichlet]⎩α(x) ≡ 0, β(x) ≡ 1,quindi ∂u∂n= 0, x ∈ ∂Ω,[condizione di Neumann].Il problema (V.9)-(V.10) consiste nel trovare una funzione u(x) di classeC 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) che soddisfi l’equazione (V.9) in Ω e la condizione (V.10) sullafrontiera ∂Ω. Evidentemente, il problema (V.9)-(V.10) ha sempre la soluzionenulla, e questa soluzione non ha alcun interesse. Perciò il problema (V.9)-(V.10) deve essere considerato come un problema agli autovalori per l’operatoreL = −div (grad ) + q.123