ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Capitolo VIFUNZIONI DI GREEN1 Classificazione delle equazioni alle derivateparzialiConsideriamo un’equazione differenziale quasi-lineare (lineare in tutte le suederivate di ordine maggiore) del secondo ordinen∑i,j=1∂ 2 ua ij (x) + Φ(x, u, ∇u) = 0∂x i ∂x j(VI.1)a coefficienti continui a ij (x) definiti su un aperto G ⊂ R n . L’equazione (V.1)soddisfa la condizione di simmetriaa ij (x) = a ji (x) reale, x ∈ G. (VI.2)Esempi importanti dell’equazione (V.1) sono l’equazione di Poisson n-dimensionale1 ∆u = −f, (VI.3)dove a ij (x) = δ ij (la delta di Kronecker), l’equazione delle onde n-dimensionale∂ 2 u∂t 2 − c2 ∆u = f,(VI.4)dove a 00 (x) = 1 (essendo t la coordinata zero-esima), a ii (x) = −c 2 (i =1, · · · , n), e a ij (x) = 0 per i ≠ j, e l’equazione del calore n-dimensionale∂u∂t = a2 ∆u + f,(VI.5)1 ∆ è l’operatore di Laplace: ∆ = ∑ nj=1 ∂2∂x 2 j121= ∇ · ∇ = div grad.