ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

su un intervallo illimitato, dove µ > 0 e α ∈ [0, π]. Sia M 2 L l’insieme ditutte le funzioni u ∈ L 2 (R) tali che la sua derivata seconda 5 u ′′ ∈ L 2 (R ∗ )e (cos α)u(0) = (sin α)u ′ (0). Seguendo il metodo dell’esempio precedentetroviamo al posto della (IV.32)u(x) = c 1 e µx +c 2 e −µx + 12µ∫ ∞xe µ(x−y) f(y) dy+ 12µAffinchè u ∈ L 2 (R + ), ci vuole c 1 = 0. Quindiu(x) = c 2 e −µx + 12µ∫ ∞0∫ x0e −µ|x−y| f(y) dy.e −µ(x−y) f(y) dy. (V.35)Ora sostituiamo la condizione al contorno in x = 0. Il risultato finale è(V.36)u(x)⎧1⎪⎨2µ1=2µ1 ⎪⎩2µ∫ ∞∫0∞∫0∞0e −µ|x−y| f(y) dy − 12µe −µ|x−y| f(y) dy + 12µ∫ ∞∫0∞e −µ|x−y| f(y) dy + F (µ, α)0e −µ(x+y) f(y) dy,e −µ(x+y) f(y) dy,∫ ∞0e −µ(x+y) f(y) dy,Dirichlet,Neumann,mista,(V.37)doveF (µ, α) =Quindi la combinazione lineare convessaµ sin α − cos α2µ[µ sin α + cos α] .G(x, y) = e−µ|x−y| + 2µF (µ, α)e −µ(x+y)2µµ sin α=µ sin α + cos α G cos αNeumann(x, y) +µ sin α + cos α G Dirichlet(x, y)delle funzioni di Green nei casi delle condizioni di Dirichlet e Neumann prendeil posto della funzione di Green.5 Si intende la derivata seconda distribuzionale.119