ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Quindi il problema (IV.26)-(IV.27) è equivalente all’equazione integraleu(x) − λ∫ 10G(x, y)u(y) ydy =∫ 1da risolvere nello spazio di Hilbert L 2 ((0, 1); x dx).esatta della funzione di Green si trova in [2].0G(x, y)f(y) ydy,Esempio V.13 Consideriamo ora il problema al contornoPer ν > 0 l’espressioneLu ≡ −u ′′ + µ 2 u = λu, x ∈ R, (V.31)su un intervallo illimitato, dove µ > 0. Sia M L l’insieme di tutte le funzioniu ∈ L 2 (R) tali che la sua derivata seconda (distribuzionale) u ′′ ∈ L 2 (R). Allorav 1 (x) = e µx e v 2 (x) = e −µx soddisfano all’equazione v j ′′ + µ 2 v j = 0 per j = 1, 2.Le soluzioni dell’equazione Lu ≡ −u ′′ + µ 2 u = f hanno tutte la formau(x) = c 1 (x)v 1 (x) + c 2 (x)v 2 (x),dove ( ) ( )v1 (x) v 2 (x) c′1 (x)v 1(x)′ v 2(x)′ c ′ 2(x)=( ) 0.−f(x)Quindi c ′ 1(x) = −e −µx f(x)/2µ e c ′ 2(x) = e µx f(x)/2µ. Di conseguenza,Dunquec 1 (x) = c 1 + 12µ∫ ∞u(x) = c 1 e µx + c 2 e −µx + 12µxe −µy f(y) dy, c 2 (x) = c 2 + 12µ∫ ∞Affinchè u ∈ L 2 (R), ci vuole c 1 = c 2 = 0. Quindixu(x) = 12µ∫ x−∞e µy f(y) dy.e µ(x−y) f(y) dy + 1 ∫ xe −µ(x−y) f(y) dy.2µ −∞(V.32)∫ ∞−∞e −µ|x−y| f(y) dy.(V.33)Si osservi che G(x, y) = e −µ|x−y| /2µ prende il posto della funzione di Green.Esempio V.14 Consideriamo ora il problema al contorno⎧Lu ≡ −u ′′ + µ 2 u = λu, x ∈ R + ,⎪⎨u(0) = 0,Dirichlet,u⎪⎩′ (0) = 0,Neumann,(cos α)u(0) − (sin α)u ′ (0) = 0, Condizione mista,(V.34)118