ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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implica l’impossibilità di convertire l’equazione differenziale in un’equazionedella forma y ′′ + . . . = 0 con condizioni iniziali di tipo y(0) = y 0 e y ′ (0) =y 1 . Ciò compromette in modo serio la costruzione della funzione di Greene la conversione del problema di Sturm-Liouville in un’equazione integralecon nucleo hermitiano. Un’altra difficoltà è la descrizione delle condizioni alcontorno che conducono ad un operatore autoaggiunto e quindi ad una teoriaspettrale. La terza difficoltà consiste nella possibilità dell’esistenza di spettrocontinuo. Ciò capita in particolare per l’equazione di Schrödinger radiale conpotenziale che tende a zero se |x| → ∞, per cui R + è lo spettro continuodell’operatore di Sturm-Liouville. Tutto quanto vuol dire che non c’è alcunasperanza di una teoria generale. Invece bisogna trattare le applicazioni in modoad hoc.Esempio V.12 Sia ν ≥ 0. Consideriamo il problema al contornoL ν u ≡ −(xu ′ ) ′ + ν2u = λxu, 0 < x < 1, (V.26)xu(x) = O(x γ ), x → 0; αu(1) + βu ′ (1) = 0, (V.27)dove γ = min(ν, 1), α ≥ 0, β ≥ 0, α + β > 0. Sia M Lν l’insieme di tutte lefunzioni u ∈ C 2 ((0, 1]) ∩ L 2 ((0, 1); x dx) che soddisfano alle condizioni al contorno(IV.27) e la condizione x −1/2 L ν u ∈ L 2 (0, 1). Quest’insieme è denso nellospazio di Hilbert L 2 ((0, 1); x dx) in cui verrà studiato il problema al contorno.Dimostriamo ora che l’operatore L ν è positivo. Infatti, nel prodotto scalaredi L 2 (0, 1) si ha per u ∈ M Lν(L ν u, u) = −==∫ 10∫ 10∫ 10(xu ′ ) ′ u dx + ν 2 ∫ 10|u| 2x dxx|u ′ | 2 dx − [xu ′ u] 1 x=0 + ν 2 ∫ 1x|u ′ | 2 dx + ν 2 ∫ 10|u| 20|u| 2x dxx dx + α β |u(1)|2 ≥ 0.Di conseguenza, tutti gli autovalori dell’operatore L ν sono non negativi. Affinchèλ = 0 sia autovalore dell’operatore L ν , è necessario e sufficiente che ν = 0ed α = 0 [condizione di Neumann all’estremo x = 1]; a quest’autovalore corrispondel’autofunzione costante. Gli autovalori sono anche semplici. Discutiamoora il caso λ > 0. In tal caso le uniche soluzioni della (IV.26) limitateper x → 0 + sono i multipli della funzione J ν (x). Una tale soluzione soddisfala condizione (IV.27) se e solo seαJ ν ( √ λ) + β √ λ J ′ ν( √ λ) = 0,116
cioè, se e solo se µ = √ λ è una radice dell’equazione (II.43). Enumerandoquesti zeri da 0 < µ (ν)1 < µ (ν)2 < · · · , otteniamo gli autovalori (soltanto quellidiversi da 0) λ (ν)k= [µ (ν)k]2 e le corrispondenti autofunzioni J ν (µ (ν)kx) (k =1, 2, · · · ). Per ν = α = 0 si aggiunga l’autovalore λ (0)0 = 0 con la corrispondenteautofunzione costante.Per ν = 0 le funzioni v 1 (x) = 1 e v 2 (x) = β − α log(x) soddisfano all’equazione(IV.26) e, rispettativamente, alla prima e alla seconda condizione (IV.27).Quindi le soluzioni dell’equazione differenziale L 0 u ≡ −(xu ′ ) ′ = xf(x) hannola formau(x) = c 1 (x)v 1 (x) + c 2 (x)v 2 (x),(V.28)dove ( ) ( )v1 (x) v 2 (x) c′1 (x)v 1(x)′ v 2(x)′ c ′ 2(x)0( 0= −f(x) . (V.29)1)Sia α > 0 (cioè, escludiamo la condizione di Neumann in x = 1). Dunquec ′ 1(x) = [log(x) − β ]xf(x) e α c′ 2(x) = xf(x)/α. Quindi∫ x[c 1 (x) = c 1 + log(y) − β ]yf(y) dy, c 2 (x) = c 2 − 1 ∫ 1yf(y) dy.ααSiccomeu(x) =+si ha c 2 = 1 α(−αc 2 +∫ x0∫ 10u(x) = c 1 +La seconda condizione∫ 10)yf(y) dy log(x) + c 1 + βc 2[log(y) − β α ]yf(y) dy − β αyf(y) dy, e dunque∫ x[log(y) − β α00 = u(1) + β α u′ (1) = c 1 +ci dà la costante c 1 . Infine∫ 1x]yf(y) dy −∫ 10yf(y) dy − (log x)x∫ x0yf(y) dy,[log(x) − β ] ∫ xyf(y) dy.α 0[log(y) − β ]yf(y) dyαu(x) =dove la funzione di Green∫ 10G(x, y)f(y) ydy,(V.30)G(x, y) = β − log max(x, y) > 0.α117
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ISTITUZIONI DI FISICAMATEMATICACors
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5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
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Capitolo IEQUAZIONI DELLA FISICAMAT
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ha la seguente rappresentazione:∆
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dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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nelle variabili (x, y, z) per k > 0
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3 Equazione di HelmholtzIn questa p
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L’altra condizione u(L) = 0 condu
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oppure[ cos α cos βsin(α + β) c
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dove a 2 è la diffusività termica
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I coefficienti di Fourier si calcol
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per l’equazione delle onde.Per l
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per n, m > n(ε), ossia se lim n,m
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d. (αϕ + βψ, χ) = α(ϕ, χ) +
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Appena trovata una base ortonormale
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ossia∫1 π|f(x)| 2 dx =2π −π
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Proposizione II.3 Siano X, Y spazi
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Sia X uno spazio di Banach compless
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Teorema II.7 Sia T ∈ L(X) un oper
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5.4 Operatori autoaggiunti non limi
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Capitolo IIIEQUAZIONI DIFFERENZIALI
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Essendo w(x) ≠ 0 (per ogni x ∈
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Spieghiamo ora il Metodo di Frobeni
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poichè in alcuni casi si trovano d
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per |z| abbastanza piccola, dove il
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Quindi la sostituzione y(x) = x −
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come dovevasi dimostrare. La funzio
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e dunque [vedi la (A.10) nell’App
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dove ν > −1. Allora∫ 1xJ ν (
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Siccome µ −ν [αJ ν (µ) + β
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3025201510587654321000 1 2 3 4 5 1
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È anche abbastanza facile trovare
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Consideriamo ora le funzioni sferic
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Page 85 and 86: otteniamo le seguenti espressioni p
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Page 118 and 119: segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
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L’equazione (C.5) può essere ris
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Per trovare i stati limite richiedi
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2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
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isultando in polinomi in x di grado
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altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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