ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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Le condizioni al contorno (IV.2) si dicono separate, poichè riguardano i valorie le derivate della u in estremi diversi dell’intervallo (0, l). Più generalmente,per u, v ∈ C 2 [0, l] risulta dopo due integrazioni per parti:(Lu, v) − (u, Lv) = [p (uv ′ − u ′ v)] l 0 .La parte a destra si annulla se u, v soddisfano le condizioni separate (IV.2).Purtroppo si annullano anche se consideriamo le condizioni non separate√ √ √p(0) u(0) = ± p(l) u(l), p(0) u ′ (0) = ± √ p(l) u ′ (l),per la u e per la v, dove bisogna scegliere il segno + due volte oppure il segnomeno due volte. In tal caso si può introdurre il dominio M L ed estenderload un dominio su cui l’operatore differenziale L è autoaggiunto. Per esempio,consideriamo il problema di Sturm-Liouville con condizioni periodiche−u ′′ = λu, u(0) = u(l), u ′ (0) = u ′ (l).In tal caso gli autovalori e le autofunzioni sono:⎧ ( ) 2 2nπ⎪⎨ λ n = , n = 0, 1, 2, · · ·l( ) ( )2nπx2nπx⎪⎩ u 0 = 1, u n (x) = c 1 cos + c 2 sin , n = 1, 2, 3, · · · .llTranne per l’autovalore λ 0 = 0, tutti gli autospazi hanno la dimensione 2.D’altra parte, per il problema di Sturm-Liouville con condizioni antiperiodiche−u ′′ = λu, u(0) = −u(l), u ′ (0) = −u ′ (l),gli autovalori e le autofunzioni sono:⎧ ( ) 2 (2n − 1)π⎪⎨ λ n =, n = 1, 2, 3, · · ·l ( ) ( )(2n − 1)πx(2n − 1)πx⎪⎩ u n (x) = c 1 cos+ c 2 sin, n = 1, 2, 3, · · · .llIn questo caso tutti gli autospazi hanno la dimensione 2.Siano (λ n ) ∞ n=1 gli autovalori della L e (ϕ n ) ∞ n=1 le corrispondenti autofunzioniortonormalizzate. Siccome il problema agli autovalori è equivalente a quello perun’equazione integrale con nucleo continuo reale e simmetrico, il sistema delleautofunzioni è completo in L 2 (0, l). In altre parole, ogni funzione f ∈ L 2 (0, l)può essere sviluppata in una serie∞∑f = (f, ϕ k )ϕ k ,(V.24)k=1114
dove‖f‖ 2 2 =∞∑|(f, ϕ k )| 2 ,k=1limN→+∞∫ l0N ∣ f(x) − ∑(f, ϕ k )ϕ k (x)∣k=12dx = 0.Esempio V.11 Consideriamo il problema di Sturm-Liouville con condizioniperiodiche−u ′′ = λu, u(0) = u(l), u ′ (0) = u ′ (l).Allora gli autovalori e le corrispondenti autofunzioni ortonormalizzate sono:⎧( ) 2 2nπ⎪⎨ λ 0 =0, λ c n =λ s n = ,l⎪⎩ ϕ 0 (x)= √ 1 ( ) 1/2 ( ) ( ) 1/2 ( )2 2nπx2 2nπx, ϕ c n(x)= cos , ϕ sl lln(x)= sin ,lldove n = 1, 2, 3, · · · . Per f ∈ L 2 (0, l) risulta la serie di Fourierdovea 0 = 2 πa n = 2 lf(x) = a 02 + ∞∑∫ l0∫ l0n=1(a n cosf(x) dx,( ) 2nπxf(x) cos dx, b n = 2 ll( ) ( 2nπx2nπx+ b n sinll∫ l0)),( ) 2nπxf(x) sin dx.l2 Problemi di Sturm-Liouville singolariFinora ci siamo limitati ai problemi di Sturm-Liouville detti regolari. Ciò vuoldire che l’equazione differenziale ha la formaLu ≡ −(pu ′ ) ′ + qu = λu, 0 < x < l, (V.25)dove p ∈ C 1 [0, l] è strettamente positiva (anche agli estremi dell’intervallo[0, l]) e q ∈ C[0, l] è una funzione reale. Nelle applicazioni appaiono, purtroppo,problemi di Sturm-Liouville in cui la funzione p è positiva all’internodell’intervallo (0, l) e si annulla ad uno (o ambedue) degli estremi. Esistonoanche applicazioni importanti in cui l’intervallo è illimitato. Tali problemi diSturm-Liouville si dicono singolari.La teoria dei problemi di Sturm-Liouville singolari è stata principalmentesviluppata da Weyl (1908). L’esistenza di uno zero della p all’estremo x = 0115
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5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
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ha la seguente rappresentazione:∆
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dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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nelle variabili (x, y, z) per k > 0
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3 Equazione di HelmholtzIn questa p
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L’altra condizione u(L) = 0 condu
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oppure[ cos α cos βsin(α + β) c
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dove a 2 è la diffusività termica
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I coefficienti di Fourier si calcol
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per l’equazione delle onde.Per l
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per n, m > n(ε), ossia se lim n,m
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d. (αϕ + βψ, χ) = α(ϕ, χ) +
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Appena trovata una base ortonormale
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ossia∫1 π|f(x)| 2 dx =2π −π
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Proposizione II.3 Siano X, Y spazi
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Sia X uno spazio di Banach compless
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Teorema II.7 Sia T ∈ L(X) un oper
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5.4 Operatori autoaggiunti non limi
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Capitolo IIIEQUAZIONI DIFFERENZIALI
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Essendo w(x) ≠ 0 (per ogni x ∈
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Spieghiamo ora il Metodo di Frobeni
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poichè in alcuni casi si trovano d
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per |z| abbastanza piccola, dove il
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Quindi la sostituzione y(x) = x −
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come dovevasi dimostrare. La funzio
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e dunque [vedi la (A.10) nell’App
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dove ν > −1. Allora∫ 1xJ ν (
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Siccome µ −ν [αJ ν (µ) + β
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3025201510587654321000 1 2 3 4 5 1
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È anche abbastanza facile trovare
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Quindi φ ν (z) è una soluzione d
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
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L’equazione (C.5) può essere ris
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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