ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

dell’equazione Θ ′′ = −CΘ. Risulta il sistema di equazioni lineari[ √ √ ] [ ] [ ]1 − cos(2π C) − sin(2π C)sin(2π √ C) 1 − cos(2π √ c1 0=C) c 2 0con determinante 2(1 − cos(2π √ C)). Il determinante si annulla se e solo seC = m 2 per m ∈ N. In tal caso tutti gli elementi della matrice si annullano equindi le costanti c 1 e c 2 sono arbitrarie.Infine, per C = 0 troviamo la soluzione generale Θ(θ) = c 1 + c 2 θ. In talcaso Θ(θ + 2π) ≡ Θ(θ) implica c 2 = 0.✷Sostituendo1 d 2 ΘΘ(θ) dθ 2d 2 Rdr 2= −m2 per m = 0, 1, 2, · · · , otteniamo+ 1r[ ]dRdr + k 2 − m2R(r) = 0r 2con le condizioni al contorno R(0 + ) finito e R(L) = 0. Se invece della condizionedi Dirichlet ψ| ∂D ≡ 0 si considera la condizione di Neumann ∂ψ | ∂n ∂D ≡ 0,risultano le condizioni al contorno R(0 + ) finito e R ′ (L) = 0.Per k = 0 si trova l’equazione di Eulero r 2 R ′′ (r) + rR ′ (r) − m 2 R(r) = 0con soluzione generale{c 1 + c 2 log r, m = 0R(r) =c 1 r m + c 2 r −m , m = 1, 2, 3, · · · .La condizione che R(0 + ) sia finito, implica c 2 = 0. In tal caso R(L) ≠ 0 perogni L > 0, eccetto nel caso banale c 1 = c 2 = 0. Quindi per k = 0 non ci sonosoluzioni non banali. Purtroppo, se studiamo l’equazione di Helmholtz con lacondizione di Neumann, risulta la soluzione non banale costante se m = 0; perm = 1, 2, 3, · · · non ci sono soluzioni non banali.Per k > 0 si ponga ρ = kr. In tal caso risulta l’equazione differenziale diBesseld 2 Rdρ + 1 ( )dR2 ρ dρ + 1 − m2R(ρ) = 0.ρ 2Quest’equazione ha una singola soluzione linearmente indipendente limitata seρ → 0 + . Con un’opportuna normalizzazione questa soluzione si chiama J m (ρ),la cosiddetta funzione di Bessel di ordine m.3. Separazione in Coordinate Sferiche. Consideriamo l’equazione diSchrödinger∆ψ + k 2 ψ = V ( √ x 2 + y 2 + z 2 )ψ6