ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

(IV.22) con nucleo integrale G 1 (x, y) reale, simmetrico e continuo. Gli autovaloriλ del problema (IV.1)-(IV.2) sono collegati ai numeri caratteristici delnucleo G 1 (x, y) con la relazione µ = λ − µ 0 , mentre le corrispondenti autofunzionicoincidono. Quindi, per il problema di Sturm-Liouville sono validi tuttigli enunciati della teoria delle equazioni integrali con nucleo continuo, reale esimmetrico. In particolare 4 l’insieme degli autovalori {λ k } di questo problemanon è vuoto e non ha punti di accumulazione finiti; gli autovalori sono reali esono anche di moltiplicità finita; le autofunzioni possono essere scelte reali edortonormali ed appartengono a C 2 [0, l].Il problema di Sturm-Liouville ha alcune proprietà specifiche.1) Gli autovalori appartengono all’intervallo [q min ,∞) dove q min = min q(x).x∈[0,l]Infatti, per f ∈ M L si ha∫ l((Lf, f) = p|f ′ | 2 + q|f| 2) dx + h 1p(0)|f(0)| 2 + H 1p(l)|f(l)| 20h 2 H 2≥ q min ‖f‖ 2 2,dove gli ultimi termini del secondo membro si annullano per h 2 = 0 oper H 2 = 0, rispettivamente. Quindi, se λ è un autovalore di L concorrispondente autofunzione u, allora u ∈ M L e λ‖u‖ 2 2 = (Lu, u) ≥q min ‖u‖ 2 2, e dunque λ ≥ q min .2) L’insieme degli autovalori è infinito numerabile. Infatti, se quest’insiemefosse finito, {λ 1 , · · · , λ N }, il nucleo G 1 (x, y) sarebbe degenere:G 1 (x, y) =N∑k=1ϕ k (x)ϕ k (y), (V.23)λ k + 1dove ϕ 1 , · · · , ϕ k sono i corrispondenti autofunzioni ortonormalizzate. Siccomeϕ k ∈ C 2 [0, l], risulterebbe una contraddizione con la (IV.13):∂G 1 (y + 0, y)∂x− ∂G 1(y + 0, y)∂x= 0, y ∈ (0, l).3) Ogni autovalore è semplice. Sia λ 0 un autovalore. Allora la corrispondenteautofunzione u sofddisfa Lu = λ 0 u e le due condizioni al contorno(IV.6) [per v 1 = v 2 = u]. Ciascuna di queste condizioni definisce un sottospaziodi L 2 (0, l) di dimensione 1. Quindi l’autospazio corrispondenteall’autovalore λ 0 è unidimensionale.4 Sfruttiamo il fatto che il corrispondente operatore integrale K è compatto e autoaggiuntosu L 2 (Ω). Ciò si deve alla stima ∫ ∫Ω Ω |G 1(x, y)| 2 dx dy < +∞.113