ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè le funzioni sotto il segno degli integrali appartengonoad L 1 (0, l). In tal caso segue dall’equazione precedente che u 0 ∈ C 1 [0, l]con derivatav 1(x)′u ′ 0(x)=−∫ lx∫ xv 2 (y)[λu 0 (y) + f(y)] dy+v 2(x)′ 0p(0)w(0)v 1 (y)[λu 0 (y) + f(y)] dy.Da quell’ultima equazione segue che u 0 ∈ C 2 [0, l]. Inoltre, dalla (IV.6) segueche u 0 (x) soddisfa le condizioni al contorno (IV.2). Dunque u 0 ∈ M L . Diconseguenza, Lu 0 = Lu 0 = λu 0 + f.✷Applicando il teorema precedente al caso f = 0, concludiamo che ogniautofunzione dell’operatore L (in principio appartenente a D(L)) appartiene adM L . Inoltre, tutte le autofunzioni appartengono a C[0, l]. Quindi il problemaal contorno per f = 0 (cioè, il problema agli autovalori) è equivalente a quelloagli autovalori dell’equazione integrale omogenea∫ lu(x) = λ G(x, y)u(y) dy0(V.19)in C[0, l] oppure in L 2 (0, l), a condizione che λ = 0 non sia autovalore dell’operatoreL.Eliminiamo ora l’ipotesi che λ = 0 non sia un autovalore dell’operatore L.Per farlo, sia µ 0 ∈ R un numero che non è un autovalore. Allora µ = 0 non èun autovalore del problema di Sturm-LiouvilleL 1 u ≡ −(pu ′ ) ′ + (q − µ 0 )u = µu,(V.20)h 1 u(0) − h 2 u ′ (0) = 0, H 1 u(l) + H 2 u ′ (l) = 0. (V.21)Ma M L = M L1 e D(L) = D(L 1 ). Quindi il problema di Sturm-Liouville(IV.1)-(IV.2) è equivalente all’equazione integrale∫ lu(x) = (λ − µ 0 ) G 1 (x, y)u(y) dy,0(V.22)dove G 1 (x, y) è la funzione di Green dell’operatore L 1 .1.3 Proprietà degli autovalori e delle autofunzioniAbbiamo dunque stabilito l’equivalenza tra il problema di Sturm-Liouvvilleomogeneo ed il problema agli autovalori per l’equazione integrale omogenea112