ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

e quindiw(x) = v 1 (0, λ)v 2(0, ′ λ) − v 1(0, ′ λ)v 2 (0, λ)= √ [λ (h 2 H 2 λ − h 1 H 1 ) sin(l √ λ) − (h 2 H 1 + h 1 H 2 ) √ λ cos(l √ ]λ) .Un numero λ > 0 è autovalore se e solo se w(x) ≡ 0. Sotto le condizioni diDirichlet (h 2 = H 2 = 0) e sotto quelle di Neumann (h 1 = H 1 = 0) seguesin(l √ λ) = 0.Quindi gli autovalori e le autofunzioni sono( nπx( nπ)⎧⎪ n = 1, 2, 3, · · · , u2 ⎨n (x) = sinlλ n = ,l ⎪( ⎩ nπxn = 0, 1, 2, · · · , u n (x) = cosl), [Dirichlet]). [Neumann]Sotto le altre condizioni (cioè, se h 2 H 1 + h 1 H 2 > 0), λ = 0 non è mai autovaloree λ > 0 è autovalore se e solo se è una radice positiva dell’equazionetranscedente 3 cotg (l √ λ) = h 2H 2 λ − h 1 H 1(h 2 H 1 + h 1 H 2 ) √ λ .C’è un numero infinito di tali radici (infatti, una successione crescente λ n chetende a +∞) ed ogni radice corrispondente all’autofunzioneu n (x, λ) = h 2√λn cos(x √ λ n ) + h 1 sin(x √ λ n ).Le radici √ λ n si trovano più facilmente nel modo grafico. Non ci sono autovalorifuori dell’intervallo [0, +∞).1.2 Riduzione ad un’equazione integraleFacciamo vedere che il problema di Sturm-Liouville può essere ridotto adun’equazione integrale di Fredholm con nucleo reale, simmetrico e continuoG(x, y).Teorema V.10 Il problema al contornoLu = λu + f, u ∈ D(L), f ∈ C(0, l) ∩ L 2 (0, l), (V.17)3 Ponendo x = √ λ, α = h 2 H 1 + h 1 H 2 > 0, β = h 2 H 2 ≥ 0 e γ = h 1 H 1 ≥ 0 con β + γ > 0,si vede subito che i grafici di (αx)/(βx 2 − γ) e tg (lx) hanno un numero infinito di punti diintersezione x > 0.110