ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Nel caso in cui λ = 0 è autovalore del problema (IV.4)-(IV.5), bisognascegliere qualche µ ∈ R che non è autovalore, e riscrivere (IV.4)-(IV.5) nellaforma equivalente(L − µ)u ≡ −(pu ′ ) ′ + (q − µ)u = f(x) − µu(x), 0 < x < l, (V.14)h 1 u(0) − h 2 u ′ (0) = 0, H 1 u(l) + H 2 u ′ (l) = 0. (V.15)Partendo dalle due soluzioni v 1 e v 2 dell’equazione omogenea (L − µ)u = 0che soddisfano le condizioni (IV.6) e quindi sono linearmente indipendenti,arriviamo ad una funzione di Green G(x, y; µ) ed un operatore integrale G(µ)dipendente di µ tali cheu = G(µ) [f − µu] .Quest’ultima si può scrivere nella forma dell’equazione integrale di Fredholmu(x) + µ∫ l0G(x, y; µ)u(y) dy =∫ l0G(x, y; µ)f(y) dy,0 ≤ x ≤ l. (V.16)Il dominio dell’estensione autoaggiunta L di L [o di L − µ] coincide conl’immagine dell’operatore integrale G(µ).Esempio V.9 Consideriamo il problema di Sturm-Liouville−u ′′ = f(x), h 1 u(0) − h 2 u ′ (0) = 0, H 1 u(l) + H 2 u ′ (l) = 0.Le soluzioni v 1 e v 2 dell’equazione omogenea −u ′′ = 0 che soddisfano lecondizioni (IV.6), hanno la forma (tranne un fattore costante)v 1 (x) = h 1 x + h 2 , v 2 (x) = H 1 l + H 2 − H 1 x,e quindi w(x) = −h 1 (H 1 l + H 2 ) − h 2 H 1 si annulla se e solo se h 1 = H 1 = 0(cioè, condizioni di Neumann in ambedue gli estremi). Se h 1 +H 1 > 0, si trovaper la funzione di Green⎧1⎪⎨[h 1 x + x 2 ][H 1 (l − y) + H 2 ], 0 ≤ x < y ≤ l,hG(x, y)= 1 (H 1 l + H 2 ) + h 2 H 11⎪⎩[H 1 (l − x) + H 2 ][h 1 y + h 2 ], 0 ≤ y < x ≤ l.h 1 (H 1 l + H 2 ) + h 2 H 1Per trovare gli autovalori, cerchiamo le soluzioni v 1 (x, λ) e v 2 (x, λ) dell’equazioneomogenea −u ′′ = λu che soddisfano le condizioni (IV.6), mentreλ > 0. Otteniamov 1 (x, λ) = h 2√λ cos(x√λ) + h1 sin(x √ λ);v 2 (x, λ) = H 2√λ cos((l − x)√λ) + H1 sin((l − x) √ λ),109