ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Calcolando la derivata si trovau ′ (x) = c 1 v ′ 1(x) + c 2 v ′ 2(x) − v′ 1(x)pw∫ lxf(y)v 2 (y) dy − v′ 2(x)pwTenendo conto dalle condizioni (IV.6), otteniamo0 = h 1 u(0) − h 2 u ′ (0) = c 1 [h 1 v 2 (0) − h 2 v ′ 2(0)] ;∫ x0 = H 1 u(l) + H 2 u ′ (l) = c 1 [H 1 v 2 (l) + H 2 v ′ 2(l)] ,0v 1 (y)f(y) dy.e quindi, in virtù del fatto che le espressioni tra parentesi quadrate non siannullano, troviamo c 1 = c 2 = 0. In altre parole,u(x) =∫ l0G(x, y)f(y) dy,(V.11)dove{G(x, y) = − 1 v 1 (x)v 2 (y), 0 ≤ x < y ≤ l,pw v 2 (x)v 1 (y), 0 ≤ y < x ≤ l,= − 1pw v 1(min(x, y))v 2 (max(x, y)).(V.12)La funzione G(x, y) è detta funzione di Green del problema al contorno (IV.4)-(IV.5) o dell’operatore L. Questo nucleo è reale, simmetrico e continuo.Inoltre, vale l’uguaglianza∂G(y + 0, y)∂x−∂G(y − 0, y)∂x= − w(y)pw = − 1 , y ∈ (0, l). (V.13)p(y)Consideriamo l’operatore integrale G su L 2 (0, l) con nucleo G(x, y). Alloraquesto nucleo è reale, simmetrico e continuo. Dunque G è un operatore lineareautoaggiunto sullo spazio di Hilbert L 2 (0, l). Siccome u = Gf appartiene adM L per ogni f ∈ C(0, l) ∩ L 2 (0, l), il dominio M L è strettamente contenutonell’immagine dell’operatore integrale G. Ne segue facilmente che l’immaginedi G (cioè, {Gf : f ∈ L 2 (0, l)}) coincide con il dominio dell’estensioneautoaggiunta L di L. Infatti, L = G −1 .M L = D(L)⏐imm. ↓L−−−→ C[0, l]⏐⏐↓imm.G[L 2 (0, l)] = D(L) −−−−→L=G −1 L 2 (0, l)108