ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

L’operatore L è hermitiano, cioè (Lf, g) = (f, Lg) per ogni f, g ∈ M L .Infatti,(Lf, g) − (f, Lg) =∫ l0[−(pf ′ ) ′ g + qfg] dx −∫ l0[−f(pg ′ ) ′ + f(qg)] dx∫ l= [−(pf ′ )g + f(pg ′ )] l 0 + [pf ′ g ′ − f ′ pg ′ ] dx= [−(pf ′ )g + f(pg ′ )] l 0 = [p(fg′ − f ′ g)] l 0 ,la quale si cancella se le condizioni (IV.2) sono ambedue di tipo Dirichlet oNeumann (se non valgono h 1 , h 2 ∈ (0, 1) e H 1 , H 2 ∈ (0, 1)). Per h 2 , H 2 >0, sostituiamo f ′ (l) = (−H 1 /H 2 )f(l) e f ′ (0) = (h 1 /h 2 )f(0) e analogamenteg ′ (l) = (−H 1 /H 2 )g(l) e g ′ (0) = (h 1 /h 2 )g(0), risultando in (Lf, g)−(f, Lg) = 0.L’integrale d’energia assume la seguente forma:∫ l((Lf, f) = p|f ′ | 2 + q|f| 2) dx + h 1p(0)|f(0)| 2 + H 1p(l)|f(l)| 2 , f ∈ M L ,0h 2 H 2(V.3)dove gli ultimi termini del secondo membro si annullano per h 2 = 0 o per H 2 =0, rispettivamente. Se q(x) ≥ q min per ogni x ∈ [0, l], l’integrale d’energia(Lf, f) soddisfa(Lf, f) ≥ q min ‖f‖ 2 2, f ∈ M L .Quindi tutti gli autovalori di L (che hanno un’autofunzione in M L ) sono realie cadono nell’intervallo [q min , +∞). Se q min fosse un autovalore di L con lacorrispondente autofunzione 0 ≠ f ∈ M L , allora la (IV.3) implicherebbe chevalgono le condizioni di Neumann negli estremi dell’intervallo (h 2 = H 2 = 0),q(x) ≡ q min è costante e l’autofunzione stessa è constante. In tutti gli altricasi gli autovalori cadono nell’intervallo (q min , +∞).01.1 Funzione di GreenSupponiamo che λ = 0 non sia un autovalore dell’operatore L. Consideriamoil problema al contornoLu ≡ −(pu ′ ) ′ + qu = f(x), 0 < x < l, (V.4)h 1 u(0) − h 2 u ′ (0) = 0, H 1 u(l) + H 2 u ′ (l) = 0, (V.5)dove f ∈ C(0, l) ∩ L 2 (0, l). Dato che λ = 0 non è autovalore dell’operatore L,la soluzione del problema al contorno (IV.4)-(IV.5) nella classe M L è unica.Costruiamo ora la soluzione di questo problema.106