ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Capitolo VPROBLEMI DISTURM-LIOUVILLEPrima di studiare alcuni problemi al contorno per le equazioni di tipo ellittico(in particolare le equazioni di Laplace, di Poisson, delle onde e di Schrödingernello spazio e nel piano), trattiamo i corrispondenti problemi unidimensionali.1 Problema di Sturm-LiouvilleIl cosiddetto problema di Sturm-Liouville ha la forma 1Lu def≡ −(pu ′ ) ′ + qu = λu, 0 < x < l, (V.1)h 1 u(0) − h 2 u ′ (0) = 0, H 1 u(l) + H 2 u ′ (l) = 0, (V.2)dove h 1 , h 2 , H 1 , H 2 sono costanti non negative tali che h 1 + h 2 > 0 e H 1 + H 2 >0. 2 Assumiano che p ∈ C 1 [0, l], p(x) > 0 per ogni x ∈ [0, l], e q ∈ C[0, l] èreale. Come dominio dell’operatore L prendiamo⎧⎫⎨u ′′ ∈ L 2 (0, l) ⎬M L =⎩ u ∈ C2 (0, l) ∩ C 1 [0, l] : h 1 u(0) − h 2 u ′ (0) = 0H 1 u(l) + H 2 u ′ ⎭ .(l) = 0Se h 2 = H 2 = 0 (cioè u(0) = u(l) = 0), abbiamo le condizioni di Dirichlet.Se h 1 = H 1 = 0 (cioè u ′ (0) = u ′ (l)), stiamo parlando delle condizioni diNeumann. Gli altri casi si dicono condizioni miste oppure condizioni di Robin.1 Ci limitiamo ora al problema di Sturm-Liouville con condizioni al contorno separate.2 Potremmo scegliere angoli α, β ∈ [0, π 2 ] tali che h 1 = cos α, h 2 = sin α, H 1 = cos β eH 2 = sin β.105