ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r, θ) = R(r)Θ(θ),dove R(r) e Θ(θ) sono funzioni di classe C 2 in r ∈ (0, L) e θ ∈ R con Θ(θ+2π) =Θ(θ), si trovaoppure0 = ∆ψψ + k2 = 1 [ d 2 RR(r) dr + 1 2 r[r 2 d 2 RR(r) dr + 1 2 r]dR+ 1 d 2 Θdr r 2 Θ(θ) dθ + 2 k2 ,]dR+ k 2 r 2 + 1 d 2 ΘdrΘ(θ) dθ = 0. 2L’espressione precedente è la somma costante di una funzione di r (che nondipende da θ) e una funzione di θ (che non dipende da r). Dunque i duetermini devono essere costanti.Proposizione I.2 Sia Θ(θ) una funzione di classe C 2 , non banale, tale che1Θ(θ)d 2 Θ= −C, Θ(θ + 2π) ≡ Θ(θ).dθ2 Allora C = m 2 per qualche m = 0, 1, 2, · · · e{costante, m = 0Θ(θ) =cost 1 cos mθ + cost 2 sin mθ, m = 1, 2, 3, · · · .Dimostrazione.Prima dimostriamo che C ≥ 0. Infatti,C∫ 2π0∫ 2π|Θ(θ)| 2 dθ = −= −=0∫ 2π0Θ ′′ (θ)Θ(θ) dθ[Θ ′ (θ)Θ(θ)] 2π0+|Θ ′ (θ)| 2 dθ ≥ 0,∫ 2π0|Θ ′ (θ)| 2 dθpoichè il primo termine della seconda parte si annulla per motivi di periodicitàe Θ ′ (θ) ≢ 0. Quindi C ≥ 0.D’altra parte, per C > 0 troviamo la soluzione generaleΘ(θ) = c 1 cos(θ √ −C) + c 2 sin(θ √ −C)5