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ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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dove p = 1, 2, · · · .Supponiamo che il nucleo hermitiano K(x, y) abbia un numero finito <strong>di</strong>numeri caratteristici: λ 1 , λ 2 , · · · , λ N . Da quanto abbiamo <strong>di</strong>mostrato, il nucleohermitiano K (N) (x, y) non ha numeri caratteristici, e quin<strong>di</strong>, in base al TeoremaIII.7, si ha K (N) (x, y) ≡ 0, in modo che, in virtù della (III.41), si haK(x, y) =N∑i=1ϕ i (x)ϕ i (y)λ i, (IV.45)il che significa che il nucleo K(x, y) è degenere.Da ciò, e ricordando anche che un nucleo degenere ha sempre un numerofinito <strong>di</strong> numeri caratteristici, formuliamo il seguente risultato: affinché unnucleo continuo hermitiano sia degenere, è necessario e sufficiente che questonucleo abbia un numero finito <strong>di</strong> numeri caratteristici.Dimostriamo che il nucleo iterato K 2 (x, y) <strong>di</strong> un nucleo continuo hermitianoK(x, y) può essere sviluppato in una serie bilineare in termini delleautofunzioni <strong>di</strong> questo nucleo,K 2 (x, y) =∞∑k=1ϕ k (x)ϕ k (y), (IV.46)λ 2 ke la serie è uniformemente convergente su Ω × Ω.Tenendo conto del fatto che, in virtù della (III.17), si ha∫∫∫K 2 (x, y)= K(x, y ′ )K(y ′ , x) dy ′ = K(x, y ′ )K(x, y ′ ) dy ′ =Ωsi ottiene l’uguaglianza∞∑k=1|ϕ k (x)| 2λ 2 kΩ∫=Ω|K(x, y)| 2 dy.Ω|K(x, y)| 2 dy,(IV.47)Dal teorema <strong>di</strong> Dini 5 segue che la serie (III.47) è uniformemente convergente inx ∈ Ω, poichè la parte a destra è una funzione continua in x ∈ Ω. Integrandotermine a termine la serie uniformemente convergente (III.47) e tenendo contodella normalizzazione delle autofunzioni, si ottiene la formula∞∑k=11λ 2 k∫=Dimostriamo or il seguente risultato.Ω∫Ω|K(x, y)| 2 dxdy.(IV.48)5 Teorema <strong>di</strong> Dini: Sia {f n } ∞ n=1 una successione crescente <strong>di</strong> funzioni continue definitesu un compatto. Se esiste f(x) = lim n→∞ f n (x) e f è continua sul compatto, allora laconvergenza è uniforme.103

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