ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Studiamo ora la condizione sotto cui è una base ortonormale il sistemaortonormale delle autofunzioni ϕ j . Se Kψ = 0, allora(ψ, ϕ j ) = 1 λ j(ψ, Kϕ j ) = 1 λ j(Kψ, ϕ j ) = 0.D’altra parte, se (ψ, ϕ j ) = 0 per ogni j, alloraKψ = ∑ j(ψ, ϕ j )ϕ j = 0.In altre parole,{ψ ∈ L 2 (Ω) : Kψ = 0} = {ψ ∈ L 2 (Ω) : ψ ⊥ ϕ j per ogni j}.Di conseguenza, {ϕ j } ∞ j=1 è una base ortonormale se e solo se ψ = 0 è l’unicovettore ortogonale a tutte le autofunzioni ϕ j se e solo se ψ = 0 è l’unico vettoretale che Kψ = 0. Dunque {ϕ j } ∞ j=1 è base ortonormale di L 2 (Ω) se e solo sezero non è autovalore di K.4 Teorema di Hilbert-SchmidtSupponiamo che λ 1 , λ 2 , · · · siano i numeri caratteristici del nucleo continuohermitiano K(x, y) ≢ 0 disposti in ordine di crescita del loro modulo, |λ 1 | ≤|λ 2 | ≤ · · · , e che ϕ 1 , ϕ 2 , · · · siano le corrispondenti autofunzioni ortonormali,(ϕ k , ϕ i ) = δ kl .Come sappiamo, i numeri caratteristici λ k sono reali e le autofunzioni ϕ k (x)sono continue su Ω; in questo caso l’insieme {λ k } è finito o numerabile; nell’ultimocaso si ha |λ k | → ∞, k → ∞. Inoltre, in virtù della (III.32), è validala disuguaglianzaNotiamo un’altra disuguaglianza, e cioè 4∞∑k=1‖Kf‖ 2 ≤ 1|λ 1 | ‖f‖ 2, f ∈ L 2 (Ω). (IV.39)|ϕ k (x)| 2λ 2 k∫≤Ω|K(x, y)| 2 dy, x ∈ Ω. (IV.40)Nel seguito verrà infatti dimostrato che vale l’uguaglianza nella (III.40).4 Se il nucleo K(x, y) ha un numero finito di numeri caratteristici , λ 1 , λ 2 , · · · , λ N , poniamoλ k = +∞ per k > N.101