ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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Conformemente al Lemma III.5, la successione delle funzioni Kf k , k =1, 2, · · · , è limitata in C(Ω) e equicontinua su Ω. Ma in questo caso, in baseal teorema di Ascoli-Arzelà, esiste anche una sottosuccessione ψ i = Kf ki ,i = 1, 2, · · · , che converge in C(Ω) ad una funzione ψ ∈ C(Ω), ‖ψ − ψ i ‖ C → 0,i → ∞. Da ciò, utilizzando le (III.6) e (III.7), e la relazione (III.36), si ottiene‖K 2 ψ − ν 2 ψ‖ C ≤ ‖K 2 (ψ − ψ i )‖ C + ν 2 ‖ψ − ψ i ‖ C + ‖K 2 ψ i − ν 2 ψ i ‖ C≤ M m(Ω)‖K(ψ − ψ i )‖ C + ν 2 ‖ψ − ψ i ‖ C + ‖K(K 2 f ki − ν 2 f ki )‖ C≤ (M 2 m(Ω) 2 + ν 2 )‖ψ − ψ i ‖ C + M √ m(Ω)‖K 2 f ki − ν 2 f ki ‖ 2 → 0, i → +∞,e, di conseguenza,K 2 ψ = ν 2 ψ.Dimostriamo che ψ ≠ 0. Dalla relazione limite (III.36) segue cheKψ i − ν 2 f ki → 0,i → +∞ in L 2 (Ω),e, di conseguenza, ‖Kψ i ‖ 2 → ν 2 , i → +∞. D’altra parte, dal Lemma III.1segue che ‖Kψ i ‖ 2 → ‖Kψ‖ 2 , i → +∞. Quindi, ‖Kψ‖ 2 = ν 2 > 0, da cui segueche ψ ≠ 0.Dunque, la funzione ψ costruita è un’autofunzione del nucleo K 2 (x, y) corrispondenteall’autovalore ν 2 . Ma, allora, almeno uno dei numeri ±ν è autovaloredel nucleo K(x, y). In tal modo, il numero caratteristico λ 1 costruito èuguale a 1/ν in modulo e, quindi, in virtù della (III.33), soddisfa il principiovariazionale (III.32).Non resta altro che stabilire che λ 1 è il numero caratteristico più piccolo inmodulo del nucleo K(x, y). Infatti, se λ 0 e ϕ 0 sono il numero caratteristico e lacorrispondente autofunzione, cioè λ 0 Kϕ 0 = ϕ 0 , allora, in virtù della (III.32),si ha1λ 1=supf∈L 2 (Ω)‖Kf‖ 2‖f‖ 2≥ ‖Kϕ 0‖ 2‖ϕ 0 ‖ 2= 1|λ 0 | ,e quindi |λ 1 | ≤ |λ 0 |.✷Considerando il teorema sopra dimostrato, per le equazioni integrali connucleo continuo hermitiano K(x, y) ≢ 0, si ottengono le seguenti asserzioni:L’insieme dei numeri caratteristici {λ k } non è vuoto, è situato sull’assereale, e non ha punti di accumulazione finiti; ogni numero caratteristicoè di moltiplicità finita ed il sistema di autofunzioni {ϕ k } può essere sceltoortonormale:(ϕ k , ϕ i ) = δ k,i . (IV.37)98
Se λ ≠ λ k , k = 1, 2, · · · , l’equazione (III.28) è univocamente risolvibile per untermine noto f ∈ C(Ω) qualsiasi. Se λ = λ k , per la risolvibilità dell’equazione(III.28) è necessario e sufficiente che(f, ϕ k+1 ) = 0, i = 0, 1, · · · , r k − 1, (IV.38)dove ϕ k , ϕ k+1 , · · · , ϕ k+rk −1 sono autofunzioni corrispondenti al numero caratteristicoλ k e r k è la moltiplicità di λ k .Sia K(x, y) ≢ 0 un nucleo integrale hermitiano e sia K il corrispondenteoperatore integrale in L 2 (Ω). Allora esistono un numbero caratteristico 0 ≠λ 1 ∈ R e un’autofunzione ϕ 1 ∈ L 2 (Ω) di norma 1 tali chePoniamo1|λ 1 | = sup ‖Kf‖ 2 = ‖Kϕ 1 ‖.‖f‖ 2 =1K 1 (x, y) = K(x, y) − ϕ 1(x)ϕ 1 (y)λ 1.Se K 1 (x, y) ≡ 0, allora λ 1 è l’unico numero caratteristico di K e K(x, y) =ϕ 1 (x)ϕ 1 (y)/λ 1 è un nucleo degenere. Se K 1 (x, y) ≢ 0 e K 1 è il corrispondenteoperatore integrale, allora esistono un numero caratteristico 0 ≠ λ 2 ∈ R con|λ 1 | ≤ |λ 2 | e un’autofunzione ϕ 2 ∈ L 2 (Ω) di norma 1 e ortogonale a ϕ 1 tali chePoniamo1|λ 2 | = sup ‖K 1 f‖ 2 = ‖Kϕ 2 ‖.‖f‖ 2 =1K 2 (x, y) = K 1 (x, y) − ϕ 2(x)ϕ 2 (y)λ 2.Se K 2 (x, y) ≡ 0, allora λ 1 e λ 2 sono gli unici numeri caratteristici di K eK(x, y) =2∑j=1ϕ j (x)ϕ j (y)λ j.Se K 2 (x, y) ≢ 0 e K 2 è il corrispondente operatore integrale, allora esistonoun numero caratteristico 0 ≠ λ 3 ∈ R con |λ 1 | ≤ |λ 2 | ≤ |λ 3 | e un’autofunzioneϕ 3 ∈ L 2 (Ω) di norma 1 e ortogonale a ϕ 1 e ϕ 2 tali che1|λ 3 | = sup ‖K 2 f‖ 2 = ‖Kϕ 3 ‖,‖f‖ 2 =199
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ISTITUZIONI DI FISICAMATEMATICACors
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5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
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Capitolo IEQUAZIONI DELLA FISICAMAT
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ha la seguente rappresentazione:∆
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dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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nelle variabili (x, y, z) per k > 0
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3 Equazione di HelmholtzIn questa p
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L’altra condizione u(L) = 0 condu
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oppure[ cos α cos βsin(α + β) c
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dove a 2 è la diffusività termica
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I coefficienti di Fourier si calcol
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per l’equazione delle onde.Per l
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per n, m > n(ε), ossia se lim n,m
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d. (αϕ + βψ, χ) = α(ϕ, χ) +
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Appena trovata una base ortonormale
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ossia∫1 π|f(x)| 2 dx =2π −π
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Proposizione II.3 Siano X, Y spazi
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Sia X uno spazio di Banach compless
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Teorema II.7 Sia T ∈ L(X) un oper
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5.4 Operatori autoaggiunti non limi
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Capitolo IIIEQUAZIONI DIFFERENZIALI
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Essendo w(x) ≠ 0 (per ogni x ∈
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Spieghiamo ora il Metodo di Frobeni
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poichè in alcuni casi si trovano d
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Page 94 and 95: dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono d
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Page 120 and 121: Le condizioni al contorno (IV.2) si
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Page 138 and 139: Risolvendo la (V.34) sotto la condi
Page 140 and 141: Utilizzando il linguaggio dell’el
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e applicando la solita separazione
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dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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L’equazione delle onde (V.97) con
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da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Il teorema A.1 può essere applicat
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Quindi φ ν (z) è una soluzione d
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
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L’equazione (C.5) può essere ris
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Per trovare i stati limite richiedi
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2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
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isultando in polinomi in x di grado
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altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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