ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Conformemente al Lemma III.5, la successione delle funzioni Kf k , k =1, 2, · · · , è limitata in C(Ω) e equicontinua su Ω. Ma in questo caso, in baseal teorema di Ascoli-Arzelà, esiste anche una sottosuccessione ψ i = Kf ki ,i = 1, 2, · · · , che converge in C(Ω) ad una funzione ψ ∈ C(Ω), ‖ψ − ψ i ‖ C → 0,i → ∞. Da ciò, utilizzando le (III.6) e (III.7), e la relazione (III.36), si ottiene‖K 2 ψ − ν 2 ψ‖ C ≤ ‖K 2 (ψ − ψ i )‖ C + ν 2 ‖ψ − ψ i ‖ C + ‖K 2 ψ i − ν 2 ψ i ‖ C≤ M m(Ω)‖K(ψ − ψ i )‖ C + ν 2 ‖ψ − ψ i ‖ C + ‖K(K 2 f ki − ν 2 f ki )‖ C≤ (M 2 m(Ω) 2 + ν 2 )‖ψ − ψ i ‖ C + M √ m(Ω)‖K 2 f ki − ν 2 f ki ‖ 2 → 0, i → +∞,e, di conseguenza,K 2 ψ = ν 2 ψ.Dimostriamo che ψ ≠ 0. Dalla relazione limite (III.36) segue cheKψ i − ν 2 f ki → 0,i → +∞ in L 2 (Ω),e, di conseguenza, ‖Kψ i ‖ 2 → ν 2 , i → +∞. D’altra parte, dal Lemma III.1segue che ‖Kψ i ‖ 2 → ‖Kψ‖ 2 , i → +∞. Quindi, ‖Kψ‖ 2 = ν 2 > 0, da cui segueche ψ ≠ 0.Dunque, la funzione ψ costruita è un’autofunzione del nucleo K 2 (x, y) corrispondenteall’autovalore ν 2 . Ma, allora, almeno uno dei numeri ±ν è autovaloredel nucleo K(x, y). In tal modo, il numero caratteristico λ 1 costruito èuguale a 1/ν in modulo e, quindi, in virtù della (III.33), soddisfa il principiovariazionale (III.32).Non resta altro che stabilire che λ 1 è il numero caratteristico più piccolo inmodulo del nucleo K(x, y). Infatti, se λ 0 e ϕ 0 sono il numero caratteristico e lacorrispondente autofunzione, cioè λ 0 Kϕ 0 = ϕ 0 , allora, in virtù della (III.32),si ha1λ 1=supf∈L 2 (Ω)‖Kf‖ 2‖f‖ 2≥ ‖Kϕ 0‖ 2‖ϕ 0 ‖ 2= 1|λ 0 | ,e quindi |λ 1 | ≤ |λ 0 |.✷Considerando il teorema sopra dimostrato, per le equazioni integrali connucleo continuo hermitiano K(x, y) ≢ 0, si ottengono le seguenti asserzioni:L’insieme dei numeri caratteristici {λ k } non è vuoto, è situato sull’assereale, e non ha punti di accumulazione finiti; ogni numero caratteristicoè di moltiplicità finita ed il sistema di autofunzioni {ϕ k } può essere sceltoortonormale:(ϕ k , ϕ i ) = δ k,i . (IV.37)98