ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

c. Equazioni integrali con nucleo continuo hermitiano: Il principiovariazionale. In questo paragrafo descriviamo i numeri caratteristici diun operatore integrale con nucleo hermitiano.Teorema IV.7 (Principio di Rayleigh-Ritz) Per ciascun nucleo continuohermitiano K(x, y) ≢ 0 l’operatore integrale K ha almeno un numero caratteristicoe il numero caratteristico λ 1 più piccolo in modulo soddisfa il principiovariazionaleDimostrazione.Sia1|λ 1 | = sup0≠f∈L 2 (Ω)ν = sup ‖Kf‖ 2 .‖f‖ 2 =1‖Kf‖ 2‖f‖ 2. (IV.32)(IV.33)Dalla (III.8) segue che ‖Kf‖ 2 ≤ M m(Ω) sulle funzioni di L 2 (Ω) di norma1 e quindi ν ≤ M m(Ω). È inoltre evidente che ν ≥ 0. Dimostriamo cheν > 0. Infatti, se ν = 0, allora, in virtù della (III.33), avremmo ‖Kf‖ 2 = 0,cioè Kf = 0 per tutte le f ∈ L 2 (Ω), e quindi K(x, y) = 0, x, y ∈ Ω, il checontraddice l’ipotesi.Dalla definizione della ν segue l’esistenza di una successione di f k , k =1, 2, · · · , ‖f k ‖ 2 = 1, tale che‖Kf k ‖ 2 → ν, k → +∞; (IV.34)inoltre, è valida la disuguaglianza( )∥ ‖K 2 f‖ 2 =Kf ∥∥∥2∥ K ‖Kf‖ 2 ≤ ν‖Kf‖ 2 ,‖Kf‖ 2f ∈ L 2 (Ω). (IV.35)Dimostriamo ora cheK 2 f k − ν 2 f k → 0, k → +∞, in L 2 (Ω). (IV.36)Infatti, utilizzando le (III.29), (III.34) e (III.35), si ottiene‖K 2 f k − ν 2 f k ‖ 2 2 = (K 2 f k − ν 2 f k , K 2 f k − ν 2 f k )= (K 2 f k , K 2 f k ) + ν 4 (f k , f k ) − ν 2 (f k , K 2 f k ) − ν 2 (K 2 f k , f k )= ‖K 2 f k ‖ 2 2 + ν 4 − 2ν 2 (Kf k , Kf k )≤ ν 2 ‖Kf k ‖ 2 2 + ν 4 − 2ν 2 ‖Kf k ‖ 2 2= ν 4 − ν 2 ‖Kf k ‖ 2 2 → 0, k → +∞,il che è equivalente alla relazione limite (III.36).97