ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Dimostrazione. Come è noto, ogni sottoinsieme chiuso e limitato in R n haun sottoinsieme denso numerabile {x n : n = 1, 2, · · · }. Per ipotesi, l’insiemedi numeri {f(x 1 ) : f ∈ B} è limitato. Quindi esiste una successione {f (1)k }∞ k=1tale che f (1)k(x 1) è convergente se k → ∞. Inoltre, visto che l’insieme di numeri{f (1)k (x 2) : k = 1, 2, · · · } è limitato, estraiamo dalla {f (1)k} una sottosuccessione{f (2)(2)k} tale che {fk(x 2)} è convergente. Continuando così, troviamo le successioni{f (m)k} in B, dove n = 1, 2, · · · e {f (n+1)k} è una sottosuccessione della{f (n)k}, tale che {f (n)k(x n )} è convergente se n → ∞.Consideriamo ora la successione diagonale {g k } in B dove g k = f (k)k , k =1, 2, · · · . Per un qualunque punto x i la successione numerica {g k (x i )} convergese k → ∞, poichè, per costruzione, per k ≥ i, questa successione è unasottosuccessione della successione convergente {f (i)k(x i)}.Dimostriamo ora che la successione di g k , k = 1, 2, · · · , è uniformementeconvergente su M. Supponiamo che sia ε > 0. Visto che questa successione èequicontinua su M, esiste δ > 0 tale che per k = 1, 2, · · · si ha|g k (x) − g k (x ′ )| < ε 3(IV.30)quando |x − x ′ | < δ e x, x ′ ∈ M. Essendo M compatto, dall’insieme di puntix 1 , x 2 , · · · si può scegliere un numero finito di questi punti, x 1 , x 2 , · · · , x l , l =l(ε), in modo che, per ogni punto x ∈ M esista un punto x i , 1 ≤ i ≤ l, tale che|x − x i | < δ. Ricordando che la successione di g k (x), k = 1, 2, · · · , converge aipunti x 1 , · · · , x l , concludiamo che esiste un numero N = N(ε) tale che|g k (x i ) − g p (x i )| < ε , k, p ≥ N, i = 1, 2, · · · , l. (IV.31)3Sia ora x un punto arbitrario dell’insieme M. Scegliendo un punto x i , 1 ≤ i ≤ l,tale che |x − x i | < δ, in virtù delle (III.30) e (III.31) si ottiene|g k (x) − g p (x)| ≤ |g k (x) − g k (x i )| + |g k (x i ) − g p (x i )| + |g p (x i ) − g p (x)|< ε 3 + ε 3 + ε 3= ε, k, p ≥ N,dove N non dipende da x ∈ M. Ciò significa che la successione di g k , k =1, 2, · · · , è una successione di Cauchy in C(M). Siccome C(M) è uno spaziodi Banach, la successione converge uniformemente su M.✷Il teorema di Ascoli-Arzelà esprime la proprietà di compattezza di un qualunqueinsieme limitato e equicontinuo in C(M). Inoltre, il Lemma III.5 affermache un operatore integrale con nucleo continuo trasferisce ogni insiemelimitato in L 2 (Ω) in un sottoinsieme di C(Ω) con chiusura (in C(Ω)) compatta.96