ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

f, g ∈ C(Ω)) segue che K(x, y) e K ∗ (x, y) sono ambedue il nucleo dell’operatoreintegrale K e quindi K(x, y) = K ∗ (x, y) per ogni (x, y) ∈ Ω × Ω.Ne segue facilmente che tutti i nuclei iterati K p (x, y) di un nucleo continuohermitiano K(x, y) sono anch’essi hermitiani:K ∗ p(x, y) = (K ∗ ) p (x, y) = K p (x, y).Sia M un compatto. 1 Un sottoinsieme M (cioè, un insieme di funzionicontinue su M) si dice equicontinuo su M se per ogni ε > 0 esiste δ > 0tale che |f(x 1 ) − f(x 2 )| < ε per ogni f ∈ M, non appena |x 1 − x 2 | < δ perx 1 , x 2 ∈ M. In particolare, f ∈ C(M) è (uniformemente) continua se e solo sel’insieme M = {f} è equicontinuo.Lemma IV.5 Un operatore integrale K con nucleo continuo K(x, y) trasferisceogni insieme limitato appartenente a L 2 (Ω) in un insieme limitato inC(Ω) e equicontinuo su Ω.Dimostrazione. Sia B un insieme limitato in L 2 (Ω): ∃A : ‖f‖ p ≤ A perogni f ∈ B. Dal Lemma III.1 segue che ‖Kf‖ C ≤ Mm(Ω) 1/2 A, f ∈ B,p = 1, 2, e quindi K trasferisce B in un insieme limitato in C(Ω). Inoltre,visto che il nucleo K(x, y) è uniformemente continuo su Ω × Ω, per un ε > 0qualsiasi esiste δ > 0 tale che|K(x ′ , y) − K(x ′′ , y)|