ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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Risolviamo ora l’equazione di Volterraϕ(x) = λ∫ x0ϕ(y) dy + f(x), 0 ≤ x ≤ a.Se f ∈ C 1 ([0, a]), allora l’equazione integrale si riduce al problema di Cauchyϕ ′ (x) = λϕ(x) + f ′ (x),ϕ(0) = f(0).La sua soluzione unica ha la formaϕ(x) = e λx f(0) +∫ x0e λ(x−y) f ′ (y) dy= e λx f(0) + [ e λ(x−y) f(y) ] ∫ xx+ λ e λ(x−y) f(y) dyy=0= f(x) + λ∫ x0e λ(x−y) f(y) dy.Quest’ultima espressione si generalizza facilmente a f ∈ C([0, a]).03 Equazioni Integrali con Nucleo HermitianoUn nucleo K(x, y) è detto hermitiano se questo nucleo coincide con il suo coniugatohermitiano, K(x, y) = K ∗ (x, y) = K(y, x). La corrispondente equazioneintegrale∫ϕ(x) = λ K(x, y)ϕ(y) dy + f(x)(IV.28)Ωper λ reali coincide con la sua aggiunta, essendo K ∗ = K un operatore autoaggiuntonello spazio L 2 (Ω). Se il nucleo K(x, y) è continuo, K è anche limitatosu L 2 (Ω). I numeri caratteristici e le autofunzioni trovati sono anche i numericaratteristici e le autofunzioni se la (III.28) viene considerata nello spazioL 2 (Ω) per un nucleo continuo ed hermitiano qualsiasi.a. Operatori integrali con nucleo continuo hermitiano: Compattezza.Supponiamo che K sia un operatore integrale con nucleo continuo hermitianoK(x, y). Quest’operatore trasferisce L 2 (Ω) (Ω è una regione limitata)in L 2 (Ω) (vedi il Lemma III.1) ed è autoaggiunto:(Kf, g) = (f, Kg), f, g ∈ L 2 (Ω). (IV.29)Inversamente, se un operatore integrale K con nucleo continuo K(x, y) è autoaggiunto,questo nucleo è hermitiano. Infatti, dalla (III.29) (valida anche per94
f, g ∈ C(Ω)) segue che K(x, y) e K ∗ (x, y) sono ambedue il nucleo dell’operatoreintegrale K e quindi K(x, y) = K ∗ (x, y) per ogni (x, y) ∈ Ω × Ω.Ne segue facilmente che tutti i nuclei iterati K p (x, y) di un nucleo continuohermitiano K(x, y) sono anch’essi hermitiani:K ∗ p(x, y) = (K ∗ ) p (x, y) = K p (x, y).Sia M un compatto. 1 Un sottoinsieme M (cioè, un insieme di funzionicontinue su M) si dice equicontinuo su M se per ogni ε > 0 esiste δ > 0tale che |f(x 1 ) − f(x 2 )| < ε per ogni f ∈ M, non appena |x 1 − x 2 | < δ perx 1 , x 2 ∈ M. In particolare, f ∈ C(M) è (uniformemente) continua se e solo sel’insieme M = {f} è equicontinuo.Lemma IV.5 Un operatore integrale K con nucleo continuo K(x, y) trasferisceogni insieme limitato appartenente a L 2 (Ω) in un insieme limitato inC(Ω) e equicontinuo su Ω.Dimostrazione. Sia B un insieme limitato in L 2 (Ω): ∃A : ‖f‖ p ≤ A perogni f ∈ B. Dal Lemma III.1 segue che ‖Kf‖ C ≤ Mm(Ω) 1/2 A, f ∈ B,p = 1, 2, e quindi K trasferisce B in un insieme limitato in C(Ω). Inoltre,visto che il nucleo K(x, y) è uniformemente continuo su Ω × Ω, per un ε > 0qualsiasi esiste δ > 0 tale che|K(x ′ , y) − K(x ′′ , y)|
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5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
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ha la seguente rappresentazione:∆
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dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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nelle variabili (x, y, z) per k > 0
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3 Equazione di HelmholtzIn questa p
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L’altra condizione u(L) = 0 condu
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oppure[ cos α cos βsin(α + β) c
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dove a 2 è la diffusività termica
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I coefficienti di Fourier si calcol
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per l’equazione delle onde.Per l
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per n, m > n(ε), ossia se lim n,m
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d. (αϕ + βψ, χ) = α(ϕ, χ) +
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Appena trovata una base ortonormale
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ossia∫1 π|f(x)| 2 dx =2π −π
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Proposizione II.3 Siano X, Y spazi
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Sia X uno spazio di Banach compless
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Teorema II.7 Sia T ∈ L(X) un oper
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5.4 Operatori autoaggiunti non limi
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Capitolo IIIEQUAZIONI DIFFERENZIALI
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Essendo w(x) ≠ 0 (per ogni x ∈
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4 Equazioni parabolicheL’equazion
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
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e applicando la solita separazione
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dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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L’equazione delle onde (V.97) con
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da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Il teorema A.1 può essere applicat
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Quindi φ ν (z) è una soluzione d
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
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L’equazione (C.5) può essere ris
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Per trovare i stati limite richiedi
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2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
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isultando in polinomi in x di grado
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altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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