ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

d. Coordinate Ellittico-cilindriche (vedi [14]): x = c cosh u cos v, y =c sinh u sin v, z = z, dove u > 0, v ∈ [0, 2π], z ∈ R, e c è una costantepositiva. Allora{h u = h v = c √ cosh 2 u sin 2 v + sinh 2 u cos 2 v = c √ sinh 2 u + sin 2 v,h z = 1.In tal caso∆ψ =( )1 ∂ 2 ψc 2 [sinh 2 u + sin 2 v] ∂u + ∂2 ψ+ ∂2 ψ2 ∂v 2 ∂z . 2(I.6)2 Separazione delle variabili1. Separazione in Coordinate Cartesiane. Consideriamo l’equazione diHelmholtz∆ψ + k 2 ψ = 0in tre variabili (x, y, z) per k ≥ 0 nel dominio [0, a] × [0, b] × [0, c]. Ponendoψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z),dove X(x), Y (y) e Z(z) sono di classe C 2 , si trova0 = ∆ψψ+ k2 = X′′ (x)X(x) + Y ′′ (y)Y (y) + Z′′ (z)Z(z) + k2 .In tal caso esistono tre costanti k 2 x, k 2 y e k 2 z tali cheX ′′ (x)X(x) + k2 x = Y ′′ (y)Y (y) + k2 y = Z′′ (z)Z(z) + k2 z = 0,dovek 2 x + k 2 y + k 2 z = k 2 .2. Separazione in Coordinate Polari. Consideriamo l’equazione di Helmholtz∆ψ + k 2 ψ = 0in due variabili (x, y) per k ≥ 0 nel dominioD ={(x, y) : 0 ≤ √ }x 2 + y 2 ≤ L ,4