Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

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Le trasformazioni αD 2 → β M e β D → αM 2 sono realizzate dalla trasformazione diequivalenzaγ µ M = S M γ µ D S−1 M(D.17)cone cheS M =√ 1 ( )( )βD + αD2 1 ( )= √2 γ0D + γD 0 1 11 σ22 γ2 D = √2σ 2 . (D.18)−11Utilizzando la (D.18) si verifica esplicitamente cheS M = S −1M = S† M . (D.19)β M = S M β D S −1M = α2 D , (D.20)αM 2 = S M αD 2 S−1 M = β D . (D.21)In conclusione, nella rappresentazione di Majorana si ha( )( )0 σγM 0 = 2iσσ 2 , γM 1 0= 300 iσ 3 , (D.22)( )0 −σγM 2 2=σ 2 0, γ 3 M =( )−iσ100 −iσ 1 , (D.23)( ) ( )0 −σαM 1 = 111 0−σ 1 , αM 2 0= , (D.24)0 −11( )0 −σαM 3 3=−σ 3 0, γ 5 M =( )−σ200 σ 2 , (D.25)D.1.3( ) 0 σC M = −i γM 0 = −i 2σ 2 . (D.26)0Rappresentazione chiraleQuesta rappresentazione è utile per studiare le proprietà di chiralità (γ 5 è diagonale) eper risolvere l’equazione di Dirac per particelle di massa nulla (quali potrebbero essere ineutrini). La rappresentazione chirale si ottiene dalla rappresentazione di Dirac in modoche γ 5 C = γ0 D e γ0 C = −γ5 D .La trasformazione di equivalenza dalla rappresentazione di Dirac a quella chirale èdata daγ µ C = S C γ µ D S−1 C , (D.27)conS C = √ 1( )( )11 + γ0D γD5 1 11 −11= √22 11 1192(D.28)
Notare cheS † C = ˜S C = S −1C = √ 1( )( )11 − γ0D γD5 1 11 11= √22 −11 11. (D.29)Le matrici γ k nella rappresentazione chirale sono uguali alle corrispondenti matricinella rappresentazione di Dirac:γ k C = S C γ k D S −1C = γk D . (D.30)La matrice di coniugazione di carica è data da( iσ2C C = S C C D ˜SC =0)0−iσ 2 . (D.31)In conclusione, nella rappresentazione chirale si ha( )( )0 110 σγC 0 = , γC k 11 0= k−σ k 0, (D.32)( )( )11 0−σγC 5 = , αC k 0 −11= k00 σ k , (D.33)( ) ( )σ20σC C = i0 −σ 2 , Σ k k0C =0 σ k . (D.34)93
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4.3 Invarianza di gauge . . . . . .
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Capitolo 1Equazione di Dirac1.1 Int
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con la quadri-correntej µ =i2 m [
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Passiamo ora all’esame dell’equ
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1.2.2 Prodotti di matrici γ: matri
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È evidente che in un cambiamento d
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Assumendo che le funzioni d’onda
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dove⎛⎞(r 1 ) µ ν = d(R 1) µ
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Poichè γ 0 γ µ† γ 0 = γ µ
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per inversione temporale si ottiene
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4. Γ a = γ µ γ 5 .ψ ′ (x ′
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Scrivendou(0) =( )χ+ (0)ϕ + (0)(2
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dove C è una opportuna costante di
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Esplicitamente si ha⎛ ( ) ⎞√
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∫Per la normalizzazione in un vol
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eΛ + (⃗p) soddisfa anche la prop
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cone quindiΩ ′ = γ 0 Ω † γ
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si ottiene⃗ J = ⃗ L +12 ⃗ Σ
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◮ Momento angolare di spin ⃗ Σ
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Nella scrittura di queste equazioni
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a sinistra per γ 0 , otteniamo(i
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