Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Le trasformazioni αD 2 → β M e β D → αM 2 sono realizzate dalla trasformazione diequivalenzaγ µ M = S M γ µ D S−1 M(D.17)cone cheS M =√ 1 ( )( )βD + αD2 1 ( )= √2 γ0D + γD 0 1 11 σ22 γ2 D = √2σ 2 . (D.18)−11Utilizzando la (D.18) si verifica esplicitamente cheS M = S −1M = S† M . (D.19)β M = S M β D S −1M = α2 D , (D.20)αM 2 = S M αD 2 S−1 M = β D . (D.21)In conclusione, nella rappresentazione di Majorana si ha( )( )0 σγM 0 = 2iσσ 2 , γM 1 0= 300 iσ 3 , (D.22)( )0 −σγM 2 2=σ 2 0, γ 3 M =( )−iσ100 −iσ 1 , (D.23)( ) ( )0 −σαM 1 = 111 0−σ 1 , αM 2 0= , (D.24)0 −11( )0 −σαM 3 3=−σ 3 0, γ 5 M =( )−σ200 σ 2 , (D.25)D.1.3( ) 0 σC M = −i γM 0 = −i 2σ 2 . (D.26)0Rappresentazione chiraleQuesta rappresentazione è utile per studiare le proprietà di chiralità (γ 5 è diagonale) eper risolvere l’equazione di Dirac per particelle di massa nulla (quali potrebbero essere ineutrini). La rappresentazione chirale si ottiene dalla rappresentazione di Dirac in modoche γ 5 C = γ0 D e γ0 C = −γ5 D .La trasformazione di equivalenza dalla rappresentazione di Dirac a quella chirale èdata daγ µ C = S C γ µ D S−1 C , (D.27)conS C = √ 1( )( )11 + γ0D γD5 1 11 −11= √22 11 1192(D.28)