Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Appendice DRappresentazioni delle matrici γD.1 Proprietà generaliLe matrici γ sono definite dalla relazione di anticommutazionee dalla condizione{γ µ , γ ν } = 2 g µν 11 , (D.1)γ µ† = γ 0 γ µ γ 0 .(D.2)Una scelta specifica delle matrici che soddisfano alla (D.1) viene chiamatarappresentazione delle matrici γ.Secondo il teorema fondamentale di Pauli sulle rappresentazioni delle matrici di Dirac,date due rappresentazioni γ µ e γ ′µ di dimensione 4×4, esiste una matrice S non-singolare(cioè tale che esiste la matrice inversa S −1 ) che connette le due rappresentazioni tramitela relazione di equivalenzaγ ′µ = S γ µ S −1 .(D.3)La matrice S è definita univocamente a meno di una costante moltiplicativa arbitraria.La condizione (D.2), che nella rappresentazione γ ′µ si scriveγ ′ µ† = γ ′0 γ ′µ γ ′0 ,(D.4)implica che la matrice S deve essere unitaria:S † = S −1 .(D.5)Infatti, utilizzando la (D.2) e la relazione inversa della (D.3),γ µ = S −1 γ ′µ S ,(D.6)dalla relazione (D.3) si ottieneγ ′ µ† = (SS † ) −1 γ ′0 γ ′µ γ ′0 (SS † ) .(D.7)Per soddisfare la relazione (D.4), si deve avereS S † = 11 .(D.8)90