Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

InfattiTr ( (γ µ ) 2 γ 5) = −Tr ( γ µ γ 5 γ µ) = −Tr ( (γ µ ) 2 γ 5)e da (γ µ ) 2 ± 11 segue che Tr(γ 5 ) = −Tr(γ 5 ) = 0. La (C.8) può essere verificata usando ladefinizione (1.40) della matrice γ 5 :Tr ( γ µ γ ν γ 5) = − i Tr ( γ µ γ ν γ 0 γ 1 γ 2 γ 3)= − i 2 Tr( γ µ γ ν γ 0 γ 1 γ 2 γ 3) − i 2 Tr( γ ν γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 γ µ)= − i g µ3 Tr ( γ ν γ 0 γ 1 γ 2) + i g µ2 Tr ( γ ν γ 0 γ 1 γ 3) − i g µ1 Tr ( γ ν γ 0 γ 2 γ 3)+ i g µ0 Tr ( γ ν γ 1 γ 2 γ 3) − i g µν Tr ( γ 0 γ 1 γ 2 γ 3)= 0 .Il prodotto di matrici γ di ordine più basso contenente la γ 5 con traccia non nulla èγ µ γ ν γ ρ γ σ γ 5 :Tr ( γ µ γ ν γ ρ γ σ γ 5) = 4 i ɛ µνρσ ,(C.9)dove ɛ µνρσ è il tensore di rango 4 completamente antisimmetrico con ɛ 0123 = +1. Infatti,la traccia (C.9) è antisimmetrica per tutte le permutazioni dispari degli indici µ, ν, ρ, σe si ha inoltreTr ( γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 γ 5) = i Tr ( γ 5 γ 5) = 4 i = 4 i ɛ 0123 .In base alle proprietà precedenti si ritrova che tutte le matrici Γ a hanno traccia nulla,eccetto la matrice identità Γ 1 ≡ 11.Per i prodotti di un numero n pari di matrici γ vale la proprietàTr(γ µ 1γ µ2 · · · γ µ n−1γ µn ) = Tr(γ µn γ µ n−1· · · γ µ 2γ µ 1) . (C.10)Infatti, inserendo tra tutte le coppie di matrici γ l’identità nella forma C −1 C = 11, dove Cè la matrice di coniugazione di carica tale che Cγ µ C −1 = −˜γ µ , poichè n è pari si haTr(γ µ 1γ µ2 · · · γ µ n−1γ µn ) = Tr ( C γ µ 1C −1 C γ µ 2C −1 · · · C −1 C γ µ n−1C −1 C γ µn C −1)= (−1) n Tr(˜γ µ1 ˜γ µ2 · · · ˜γ µ n−1˜γ µn ) = Tr([γ )µn γ µ n−1· · · γ µ 2γ µ 1] T= Tr(γ µn γ µ n−1· · · γ µ 2γ µ 1) .89