Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Appendice CTracce di prodotti di matrici γProprietà fondamentali:1) La traccia del prodotto di un numero dispari di matrici γ è nulla. Infatti(Tr(γ µ 1(γ. . . γ µn 5) = Tr)2 )γ µ 1. . . γ µn = Tr ( γ 5 γ µ 1. . . γ µn γ 5)( (γ= (−1) n 5Tr) )2γµ 1. . . γ µn = (−1) n Tr(γ µ 1. . . γ µn ) ,(C.1)dove γ 5 è stato prima permutato circolarmente e poi commutato con le γ µ k. Inparticolare, si haTr(γ µ ) = 0 ,Tr ( γ µ γ 5) = 0 .(C.2)(C.3)2) Se il numero n di matrici γ è pari, il numero di fattori può essere progressivamentescalato di 2 utilizzando le proprietà di anticommutazione. Per esempio,Tr(γ µ γ ν ) = 1 2 Tr(γµ γ ν + γ ν γ µ ) = g µν Tr(11) = 4 g µν .(C.4)Analogamente,Tr(γ µ γ ν γ ρ γ σ ) = g µν Tr(γ ρ γ σ ) − g µρ Tr(γ ν γ σ ) + g µσ Tr(γ ν γ ρ )= 4 (g µν g ρσ − g µρ g νσ + g µσ g νρ ) .(C.5)La formula generale per ridurre la traccia di un prodotto di n matrici γ, con n pari,alla somma di tracce di prodotti di n − 2 matrici γ è data daTr(γ µ 1γ µ 2γ µ3 · · · γ µn ) = g µ 1µ 2Tr[γ µ 3γ µ4 · · · γ µn ] − g µ 1µ 3Tr[γ µ 2γ µ4 · · · γ µn ] + · · ·· · · + g µ 1µ nTr[γ µ 2γ µ3 · · · γ µ n−1] .(C.6)Notare alcuni casi particolari:Tr ( γ 5) = 0 ,Tr ( γ µ γ ν γ 5) = 0 .(C.7)(C.8)88