Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Perciòg µν = g µν =⎛⎜⎝1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1⎞⎟⎠ .(B.6)Il prodotto scalare tra due quadri-vettori u, v è dato dau · v = u µ v µ = u µ v µ = g µν u µ v ν = g µν u µ v ν = u 0 v 0 − ⃗u · ⃗v .(B.7)I quadri-vettori si dividono in tre gruppi, a seconda del segno della loro norma v 2 ≡ v · v,v 2 > 0 quadri-vettori di tipo tempo (B.8a)v 2 = 0 quadri-vettori di tipo luce (B.8b)v 2 < 0 quadri-vettori di tipo spazio (B.8c)Una trasformazione di Lorentz L(Λ) agisce sui quadri-vettori trasformando un quadrivettorev in un quadri-vettore v ′ v ′µ = Λ µ ν vν , (B.9)in modo da mantenere invariante la norma dei quadri-vettori:v ′2 = v 2 ⇐⇒ g µν Λ µ α Λ ν βv α v β = g αβ v α v β . (B.10)Ciò implica che le matrici Λ µ ν devono soddisfare alla relazioneg µν Λ µ α Λ ν β = g αβ .(B.11)La trasformazione inversa della (B.9) ècome si verifica immediatamente utilizzando la (B.11).v ν = Λ νµ v ′µ , (B.12)87