Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Appendice BQuadri-vettori – metricaConsideriamo uno spazio vettoriale a 4 dimensioni. Gli elementi di questo spazio vettorialesi chiamano quadri-vettori. Il quadri-vettore v ha componenti controvariantiv µ = (v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ), dove v 0 è la componente temporale e v 1 , v 2 , v 3 sono le componentispaziali 1 , le quali si trasformano come le componenti di un tri-vettore euclideo⃗v = (v 1 , v 2 , v 3 ) per rotazioni spaziali. Le componenti covarianti v µ = (v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ) delquadri-vettore v sono legate alle componenti controvarianti dalla relazionev µ = g µν v µ ,dove g e’ il tensore metrico, con componenti covarianti g µν date dag µν =⎛⎜⎝1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1⎞⎟⎠ .(B.1)(B.2)Perciò, le componenti covarianti e controvarianti del quadri-vettore v sono legate dallerelazioniv 0 = v 0 , v k = −v k (k = 1, 2, 3) . (B.3)Le componenti controvarianti (g µν ) del tensore metrico sono date dalla relazionecong µρ g ρν = g µ ν ,⎛ ⎞1 0 0 0g ν µ ≡ ⎜0 1 0 0⎟⎝0 0 1 0⎠ .0 0 0 1(B.4)(B.5)1 Per gli indici quadri-dimensionali, che vanno da 0 a 3, usiamo lettere greche µ, ν, ρ, . . ., mentre gliindici tri-dimensionali, che vanno da 1 a 3, usiamo lettere romane k, i, j, . . .. Usiamo anche la notazionesecondo la quale quando un indice è ripetuto in uno stesso termine è implicita la somma sui suoi valori.Ad esempiou µ v µ = u 0 v 0 + u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 .86