Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Se non siamo interessati alle polarizzazioni dell’elettrone negli stati iniziale e finale,allora mediamo e sommiamo sugli stati di spin:12∑|A| 2 = 1 ∑2r,sDalla formula (C.5) si hae quindir,su (s)f(⃗p f) γ 0 u (r)= 1 2 Tr [γ 0 /p i + m2mi(⃗p i ) u (r)i (⃗p i ) γ 0 u (s)f (⃗p f)/p ]γ0 f + m2m= 18 m 2 Tr[ γ 0 /p i γ 0 /p f + m 2 11 ] . (8.61)Tr [ γ 0 γ µ γ 0 γ ν] p iµ p fν = 4 ( g 0µ g 0ν − g 00 g µν + g 0ν g 0µ) p iµ p fν12∑r,s= 4 ( E i E f +⃗p i ·⃗p f), (8.62)|A| 2 = 12 m 2 (Ei E f +⃗p i ·⃗p f + m 2) . (8.63)Nel caso di scattering elastico si ha E i = E f ≡ E e |⃗p i | = |⃗p f | = √ E 2 − m 2 , per cui12∑r,sUtilizzando la formula relativistica|A| 2 = 12 m 2 [E 2 + ( E 2 − m 2) cos ϑ + m 2]= 1 [ 1 (E 2 − m 2) ](1 + cos ϑ) + m 2 . (8.64)m 2 2si ottiene12∑r,sm 2E 2 = 1 − v2 , (8.65)|A| 2 = E2m 2 [ 12 v2 (1 + cos ϑ) + 1 − v 2 ]= E2m 2 (1 − v 2 sin 2 ϑ 2). (8.66)La formula finale per la sezione d’urto differenziale per scattering non polarizzato è quindidσdΩ = (Z α) 24 v 2 p 2 sin 4 ϑ 2(1 − v 2 sin 2 ϑ ). (8.67)284