Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

con la quadri-correntej µ =i2 m [ψ∗ (∂ µ ψ) − (∂ µ ψ ∗ ) ψ] . (1.17)Osserviamo che la componente temporale j 0 della quadri-correntej 0 =i [ ( ) ∂ψψ ∗ −2 m ∂t( ∂ψ∗∂t) ]ψ(1.18)non è una quantità definita positiva e non può quindi essere interpretata come densitàdi probabilità. Questo problema dell’equazione di Klein-Gordon si presenta solo nell’ambitodella meccanica quantistica (teoria ad una particella). La struttura (1.17) dellaquadri-corrente è invece perfettamente interpretabile nell’ambito della teoria dei campi 2 .Notiamo ancora che la struttura particolare della ρ nella teoria di Klein-Gordon è attribuibileal fatto che l’equazione in questione è del second’ordine nella derivata temporale(nell’equazione di Schrödinger la derivata temporale è invece del prim’ordine).1.2 L’equazione di DiracPoniamoci ora il problema di determinare la struttura matematica di un’equazione quantisticarelativistica adeguata alla descrizione di una particella di spin 1/2. Vogliamo che,associata all’equazione d’onda, vi sia un’equazione di continuità con densità di probabilitàdefinita positiva. Come abbiamo visto precedentemente, questa richiesta implica chel’equazione d’onda sia del prim’ordine nella derivata temporale.Vediamo di elencare tutte le proprietà a cui deve soddisfare l’equazione che cerchiamo(equazione di Dirac):1. Per avere una corretta equazione di continuità, l’equazione dev’essere del prim’ordinenella derivata temporale;2. per covarianza relativistica, l’equazione dev’essere del prim’ordine anche nelle derivatespaziali;3. per il principio di sovrapposizione, l’equazione dev’essere lineare ed omogenea;4. la funzione d’onda deve descrivere anche gradi di libertà di spin e deve quindi esserea più componenti: ψ l (x), con l = 1, 2, . . . , N (nella teoria non relativistica di Pauli lecomponenti sono 2);5. l’equazione d’onda dev’essere compatibile con l’equazione di Klein-Gordon;6. dall’equazione si deve poter dedurre un’equazione di continuità con densità diN∑probabilità data da ρ = ψl ∗ ψ l .l=12 Vedi, ad esempio, Bjorken & Drell e Itzykson & Zuber.3