Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Quindi, la probabilità di transizione per unità di tempo è (vedi anche l’Appendice I)[ ] 2dw fi = 2π δ(E i − E f ) m2 1 Z e 2V 2 ( )E i E 2|A| 2 dn f , (8.52)f ⃗pi −⃗p fossia, integrando sull’energia E f ,∫dw fi ′ = dw fidE fdE f[ ] 2= 2π m2 1 Z e 2V 2 ( )E i E 2|A| 2 dn ∣f ∣∣∣Ef. (8.53)f ⃗pi −⃗p fdE f =E iLa sezione d’urto differenziale èdove I è l’intensità del fascio:dσ = dw′ fiI, (8.54)I = v i ρ = v iV , (8.55)essendo v i = |⃗p i |/E i la velocità dell’elettrone incidente rispetto al centro diffusore e ρ ladensità.Per la densità degli stati finali abbiamodn fdE f=V(2π) 3 d 3 p fdE f= V(2π) 3 dΩ |⃗p f| 2 d|⃗p f|dE f. (8.56)Essendo d|⃗p f|dE fe quindi= E f|⃗p f | , otteniamo dn fdE f=V(2π) 3 E f |⃗p f | dΩ , (8.57)[ ]dσ = 12Z e 2(2π) 2 ( ) 2|A| 2 m 2 dΩ . (8.58)⃗pi −⃗p fPossiamo anche scrivere(⃗pi −⃗p f) 2= 2p 2 (1 − cos ϑ) = 4p 2 sin 2 ϑ 2 , (8.59)dove ϑ è l’angolo di diffusione e p = |⃗p i | = |⃗p f |. Introducendo la costante di strutturafine α = e24π , la (8.58) diventa dσ = (Z α)2 m 24 p 4 sin 4 ϑ 283|A| 2 dΩ . (8.60)