Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

¥££ £££ £¢ £¡£ ¤¥§¦ ¥©¨Figura 8.2: Rappresentazione diagrammatica (Feynman) dell’ampiezza di transizione alsecondo termine perturbativo M (2)finell’equazione (8.41), con p = p i + k = p f − q 1 .Dalle espressioni (8.33) e (8.34) si trova che il secondo termine perturbativodell’ampiezza di transizione è∫ ∫M (2)fi= (−i e) 2 d 4 x 1 d 4 x 2 ψ f (x 1 ) /A(x 1 ) K 0 (x 1 , x 2 ) /A(x 2 ) ψ i (x 2 )= m ∫ ∫∫1V (E i E f ) (−i 1/2 e)2 d 4 x 1 d 4 x 2 u f (p f ) e ip f x 1d 4 q 1 /a(q 1 ) e −iq 1x 1= m V× i(2π) 4 ∫d 4 p/p + mp 2 − m 2 + iɛ e−ip(x 1−x 2 )∫1(E i E f ) (−i 1/2 e)2 i (2π) 4× u f (p f ) /a(q 1 )d 4 q 1∫∫d 4 q 2 /a(q 2 ) e −iq 2x 2u i (p i ) e −ip ix 2∫d 4 q 2 d 4 p δ 4 (p f − q 1 − p) δ 4 (p − q 2 − p i )/p + mp 2 − m 2 + iɛ /a(q 2) u i (p i ) . (8.39)Indicando con f(q 1 , q 2 , p) la parte matriciale della funzione integranda, abbiamo∫ ∫ ∫d 4 q 1 d 4 q 2 d 4 p f(q 1 , q 2 , p) δ 4 (p f − q 1 − p) δ 4 (p − q 2 − p i ) =∫ ∫= d 4 q 1 d 4 q 2 f(q 1 , q 2 , p) δ 4 (p f − q 1 − q 2 − p i ) ∣e quindiM (2)fi= i (−i e) 2 (2π) 4 m V∫=∣p=pf −q 1d 4 q 2 f(q 1 , q 2 , p)∣ p=pi +q 2, (8.40)q 1 =p f −p i −q 2∫1(E i E f ) 1/2d 4 k u f (p f ) /a(p f −p i −k)Questa ampiezza è rappresentata diagrammaticamente nella Figura 8.2.8.4 Applicazione: scattering Rutherford/k + /p i + m(k + p i ) 2 − m 2 + iɛ /a(k) u i(p i ) .(8.41)Calcoliamo lo scattering di un elettrone in un campo coulombiano all’ordine più basso.81