Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Si può mostrare che, come nel caso non-relativistico, la funzione di Green forniscel’evoluzione temporale della funzione d’onda dal tempo t al tempo t ′ (t ′ ≥ t) mediante laformula∫ψ(x ′ ) = d 3 x K(x ′ , x) γ 0 ψ(x) . (8.32)Quindi, l’ampiezza di transizione da uno stato ψ i (x) ad uno stato ψ f (x ′ ) con x ′ 0 > x 0 èdata da∫ ∫M fi = d 3 x d 3 x ′ ψ † f (x′ ) K(x ′ , x) γ 0 ψ i (x)∫ ∫= d 3 x d 3 x ′ ψ f (x ′ ) γ 0 K(x ′ , x) γ 0 ψ i (x) . (8.33)K(x ′ , x) può essere espressa nel modo seguente:∫K(x ′ , x) = K 0 (x ′ , x) − i e d 4 x 1 K 0 (x ′ , x 1 ) /A(x 1 ) K(x 1 , x)∫= K 0 (x ′ , x) − i e d 4 x 1 K 0 (x ′ , x 1 ) /A(x 1 ) K 0 (x 1 , x)∫ ∫+ (−i e) 2 d 4 x 1 d 4 x 2 K 0 (x ′ , x 1 ) /A(x 1 ) K 0 (x 1 , x 2 ) /A(x 2 ) K 0 (x 2 , x) + . . . .(8.34)Al prim’ordine l’ampiezza di transizione è∫ ∫∫M (1)fi= − i e d 3 x d 3 x ′ ψ f (x ′ ) γ 0 d 4 x 1 K 0 (x ′ , x 1 ) /A(x 1 ) K 0 (x 1 , x) γ 0 ψ i (x)∫= − i e d 4 x 1 ψ f (x 1 ) /A(x 1 ) ψ i (x 1 ) . (8.35)Supponiamo che gli stati iniziale e finale dell’elettrone siano autostati del quadri-impulsocon valori positivi dell’energia,ψ i (x) = 1 √V√ mE iu i (p i ) e −ip ix ,ψ f (x) = 1 √V√ mE fu f (p f ) e −ip f x ,(8.36a)(8.36b)e scriviamo A µ (x) mediante la sua trasformata di Fourier∫A µ (x) = d 4 q a µ (q) e −iqx . (8.37)Sostituendo le (8.36) e (8.37) nella (8.35) si ottiene∫ ∫Vm (E iE f ) 1/2 M (1)fi= − i e d 4 x 1 d 4 q u f (p f ) /a(q) u i (p i ) e i(p f −q−p i )x 1∫= − i e (2π) 4 d 4 q u f (p f ) /a(q) u i (p i ) δ 4 (p f − q − p i )= − i e (2π) 4 u f (p f ) /a(p f − p i ) u i (p i ) . (8.38)80