Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

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Dalla (8.14) si trova, per iterazione,∫[K(x ′ , x) = K 0 (x ′ , x) − i d 4 x 1 K 0 (x ′ , x 1 ) V (x 1 ) K 0 (x 1 , x)∫[] ]− i d 4 x 2 K 0 (x 1 , x 2 ) V (x 2 ) K 0 (x 2 , x) − . . .∫= K 0 (x ′ , x) − i d 4 x 1 K 0 (x ′ , x 1 ) V (x 1 ) K 0 (x 1 , x)∫ ∫+ (−i) 2 d 4 x 1 d 4 x 2 K 0 (x ′ , x 1 ) V (x 1 ) K 0 (x 1 , x 2 ) V (x 2 ) K 0 (x 2 , x) + . . . .(8.17)8.2 Funzione di Green per l’equazione di Dirac liberaIn analogia a quanto fatto precedentemente in teoria non-relativistica, definiamo lafunzione di Green relativamente all’equazione di Dirac libera mediante l’equazione(iγ µ ∂ ′ µ − m) K 0 (x ′ , x) = i δ 4 (x ′ − x) . (8.18)Si può mostrare che una soluzione particolare dell’Eq.(8.18) è data daK 0 (x ′ , x) = ∑ nu n (⃗x ′ ) u n (⃗x) e −iEn(t′ −t) + ∑ nv n (⃗x ′ ) v n (⃗x) e iEn(t′ −t)per t ′ ≥ t , (8.19)doveu n (⃗x) = e i⃗p·⃗x u n (⃗p) ,v n (⃗x) = e −i⃗p·⃗x v n (⃗p) ,(8.20a)(8.20b)e K 0 (x ′ , x) = 0 per t ′ < t.Determiniamo ora la trasformata di Fourier di K 0 (x ′ , x), ossia la funzione K(p),K 0 (x ′ , x) = 1 ∫d 4 p K(p) e −ip(x′ −x) . (8.21)(2π) 4Sostituendo quest’espressione nella (8.18) si ottiene∫∫1d 4 p (/p − m) K(p) e −ip(x′ −x) 1= i(2π) 4 (2π) 4d 4 p e −ip(x′ −x) , (8.22)e quindio ancorain quanto(/p − m) K(p) = i 11 , (8.23)K(p) = i/p + mp 2 − m 2 , (8.24)(/p − m) (/p + m) = p 2 − m 2 . (8.25)78
Im p 0✻✲−E ✲✚✙C F✲✛✘ ✲+E✲Re p 0Figura 8.1: Il cammino di integrazione C F di Feynman.La formula (8.21) può quindi essere riscritta comeK 0 (x ′ , x) =i ∫(2π) 4d 4 p /p + mp 2 − m 2 e−ip(x′ −x) . (8.26)La funzione integranda ha due punti di singolarità che sono dati dap 2 0 −⃗p2 − m 2 = 0 . (8.27)Nella variabile p 0 i due poli semplici sono localizzati nei punti√p 0 = ± ⃗p 2 + m 2 ≡ ±E (E > 0) , (8.28)che si trovano nell’intervallo di integrazione della (8.26). Per evitare queste singolaritàoccorre deformare il cammino di integrazione sulla variabile p 0 nel piano complesso di p 0 .Utilizziamo la prescrizione di Feynman che equivale al cammino di integrazione C F nellaFigura 8.1. L’integrazione sulla variabile p 0 è svolta nell’Appendice H.Questa prescrizione può essere inclusa nella definizione di K(p), ossiaK(p) = i/p + mp 2 − m 2 + iɛ , (8.29)infatti(p 0 + E − iɛ) (p 0 − E + iɛ) = p 2 − m 2 + iɛ . (8.30)8.3 Funzione di Green per l’equazione di Dirac coninterazioneDefiniamo ora una funzione di Green relativa all’equazione di Dirac in presenza diinterazione elettrone – campo elettromagnetico, ossia(iγ µ ∂ ′ µ − m − eγ µ A µ (x ′ ) ) K(x ′ , x) = i δ 4 (x ′ − x) . (8.31)79
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4.3 Invarianza di gauge . . . . . .
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Capitolo 1Equazione di Dirac1.1 Int
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con la quadri-correntej µ =i2 m [
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Passiamo ora all’esame dell’equ
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1.2.2 Prodotti di matrici γ: matri
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È evidente che in un cambiamento d
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Assumendo che le funzioni d’onda
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dove⎛⎞(r 1 ) µ ν = d(R 1) µ
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Poichè γ 0 γ µ† γ 0 = γ µ
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per inversione temporale si ottiene
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4. Γ a = γ µ γ 5 .ψ ′ (x ′
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Scrivendou(0) =( )χ+ (0)ϕ + (0)(2
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dove C è una opportuna costante di
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Esplicitamente si ha⎛ ( ) ⎞√
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