Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Dalla (8.14) si trova, per iterazione,∫[K(x ′ , x) = K 0 (x ′ , x) − i d 4 x 1 K 0 (x ′ , x 1 ) V (x 1 ) K 0 (x 1 , x)∫[] ]− i d 4 x 2 K 0 (x 1 , x 2 ) V (x 2 ) K 0 (x 2 , x) − . . .∫= K 0 (x ′ , x) − i d 4 x 1 K 0 (x ′ , x 1 ) V (x 1 ) K 0 (x 1 , x)∫ ∫+ (−i) 2 d 4 x 1 d 4 x 2 K 0 (x ′ , x 1 ) V (x 1 ) K 0 (x 1 , x 2 ) V (x 2 ) K 0 (x 2 , x) + . . . .(8.17)8.2 Funzione di Green per l’equazione di Dirac liberaIn analogia a quanto fatto precedentemente in teoria non-relativistica, definiamo lafunzione di Green relativamente all’equazione di Dirac libera mediante l’equazione(iγ µ ∂ ′ µ − m) K 0 (x ′ , x) = i δ 4 (x ′ − x) . (8.18)Si può mostrare che una soluzione particolare dell’Eq.(8.18) è data daK 0 (x ′ , x) = ∑ nu n (⃗x ′ ) u n (⃗x) e −iEn(t′ −t) + ∑ nv n (⃗x ′ ) v n (⃗x) e iEn(t′ −t)per t ′ ≥ t , (8.19)doveu n (⃗x) = e i⃗p·⃗x u n (⃗p) ,v n (⃗x) = e −i⃗p·⃗x v n (⃗p) ,(8.20a)(8.20b)e K 0 (x ′ , x) = 0 per t ′ < t.Determiniamo ora la trasformata di Fourier di K 0 (x ′ , x), ossia la funzione K(p),K 0 (x ′ , x) = 1 ∫d 4 p K(p) e −ip(x′ −x) . (8.21)(2π) 4Sostituendo quest’espressione nella (8.18) si ottiene∫∫1d 4 p (/p − m) K(p) e −ip(x′ −x) 1= i(2π) 4 (2π) 4d 4 p e −ip(x′ −x) , (8.22)e quindio ancorain quanto(/p − m) K(p) = i 11 , (8.23)K(p) = i/p + mp 2 − m 2 , (8.24)(/p − m) (/p + m) = p 2 − m 2 . (8.25)78