Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Capitolo 8Funzioni di Green e processi discattering8.1 Funzione di Green in teoria non-relativisticaPrendiamo in esame l’equazione del motoi ∂ψ∂t = H ψ , (8.1)dove H è l’operatore hamiltoniano non-relativistico. Se H è indipendente dal tempo, uninsieme ortonormale completo è costituito dalle soluzioni χ n (t,⃗x) = ϕ n (⃗x) e −iEnt , conH ϕ n (⃗x) = E n ϕ n (⃗x) . (8.2)Le funzioni ϕ n (⃗x) soddisfano la condizione di ortonormalità∫d 3 x ϕ ∗ n (⃗x) ϕ m(⃗x) = δ nm (8.3)e quella di completezza∑ϕ ∗ n(⃗x) ϕ n (⃗x ′ ) = δ 3( ⃗x − ⃗x ′) . (8.4)nUna generica funzione d’onda ψ(x) può essere sviluppata comeψ(t,⃗x) = ∑ nc n χ n (t,⃗x) = ∑ nc n ϕ n (⃗x) e −iEnt , (8.5)dove∫c n =d 3 x χ ∗ n (t,⃗x) ψ(t,⃗x) . (8.6)Quindiψ(t ′ ,⃗x ′ ) = ∑ c n χ n (t ′ ,⃗x ′ ) = ∑ ∫d 3 x χ ∗ n (t,⃗x) ψ(t,⃗x) χ n(t ′ ,⃗x ′ )nn∫= d 3 x ∑ χ n (t ′ ,⃗x ′ ) χ ∗ n (t,⃗x) ψ(t,⃗x) . (8.7)n} {{ }≡K(t ′ ,⃗x ′ ;t,⃗x)76